2016 AMC 10A 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

在长方形

ABCD

中，

AB=6

，

BC=3

。点

E

在

B

与

C

之间，点

F

在

E

与

C

之间，且

BE=EF=FC

。线段

\overline{AE}

和

\overline{AF}

分别与

\overline{BD}

相交于

P

和

Q

。

比值

BP:PQ:QD

可写成

r:s:t

，其中

r

，

s

和

t

的最大公因数为

1

。求

r+s+t

。

In rectangle

ABCD,

AB=6

and

BC=3.

Point

E

between

B

and

C,

and point

F

between

E

and

C

are such that

BE=EF=FC.

Segments

\overline{AE}

and

\overline{AF}

intersect

\overline{BD}

at

P

and

Q,

respectively.

The ratio

BP:PQ:QD

can be written as

r:s:t

where the greatest common factor of

r,

s,

and

t

is

1.

What is

r+s+t?

7

9

12

15

20

答案：E

知识点：相似矩形

难度评级：1720

小提示：

对从

A

出发的两条塞瓦线使用相似三角形。

Use similar triangles on the two cevians from

A

大提示：

把

BP, PQ, QD

都表示为

BD

的分数。

Convert

BP, PQ, QD

into fractions of

BD

解答：

因为

BC=3

，且

BE=EF=FC

，所以

BE=1

、

BF=2

。又

AD=3

。

由

\triangle APD\sim\triangle EPB

，

\frac{BP}{BD}=\frac{BE}{AD+BE}=\frac14\text{。}

由

\triangle AQD\sim\triangle FQB

，

\frac{BQ}{BD}=\frac{BF}{AD+BF}=\frac25\text{。}

因此

BP=\frac14BD

，

PQ=\left(\frac25-\frac14\right)BD=\frac3{20}BD

，且

QD=\frac35BD

。于是

\begin{aligned} BP:PQ:QD &= \frac14:\frac3{20}:\frac35 \\ &= 5:3:12\text{。} \end{aligned}

和为

5+3+12=20

。

所以正确答案是 E。

Since

BC=3

and

BE=EF=FC

, we have

BE=1

and

BF=2

. Also

AD=3

.

From

\triangle APD\sim\triangle EPB

,

\frac{BP}{BD}=\frac{BE}{AD+BE}=\frac14.

From

\triangle AQD\sim\triangle FQB

,

\frac{BQ}{BD}=\frac{BF}{AD+BF}=\frac25.

Therefore

BP=\frac14BD

,

PQ=\left(\frac25-\frac14\right)BD=\frac3{20}BD

, and

QD=\frac35BD

. Thus

\begin{aligned} BP:PQ:QD &= \frac14:\frac3{20}:\frac35 \\ &= 5:3:12. \end{aligned}

The sum is

5+3+12=20

.

Thus, the correct answer is E.