Question

在长方形 $ABCD$ 中， $AB=6$ ， $BC=3$ 。点 $E$ 在 $B$ 与 $C$ 之间，点 $F$ 在 $E$ 与 $C$ 之间，且 $BE=EF=FC$ 。线段 $\overline{AE}$ 和 $\overline{AF}$ 分别与 $\overline{BD}$ 相交于 $P$ 和 $Q$ 。

比值 $BP:PQ:QD$ 可写成 $r:s:t$ ，其中 $r,s$ 和 $t$ 的最大公因数为 $1$ 。求 $r+s+t$ 。

In rectangle $ABCD,$ $AB=6$ and $BC=3.$ Point $E$ between $B$ and $C,$ and point $F$ between $E$ and $C$ are such that $BE=EF=FC.$ Segments $\overline{AE}$ and $\overline{AF}$ intersect $\overline{BD}$ at $P$ and $Q,$ respectively.

The ratio $BP:PQ:QD$ can be written as $r:s:t$ where the greatest common factor of $r,s,$ and $t$ is $1.$ What is $r+s+t?$

$7$

$9$

$12$

$15$

$20$

答案：E

知识点：相似矩形

难度评级：1720

解答：

因为 $BC=3$ ，且 $BE=EF=FC$ ，所以 $BE=1$ 、 $BF=2$ 。又 $AD=3$ 。

由 $\triangle APD\sim\triangle EPB$ ，由 $\triangle AQD\sim\triangle FQB$ ， $\frac{BP}{BD}=\frac{BE}{AD+BE}=\frac14.$ $\frac{BQ}{BD}=\frac{BF}{AD+BF}=\frac25.$

因此 $BP=\frac14BD$ ， $PQ=\left(\frac25-\frac14\right)BD=\frac3{20}BD$ ，且 $QD=\frac35BD$ 。于是和为 $5+3+12=20$ 。 $\begin{aligned} BP:PQ:QD &= \frac14:\frac3{20}:\frac35 \\ &= 5:3:12. \end{aligned}$

所以正确答案是 E。

Since $BC=3$ and $BE=EF=FC$ , we have $BE=1$ and $BF=2$ . Also $AD=3$ .

From $\triangle APD\sim\triangle EPB$ , $\frac{BP}{BD}=\frac{BE}{AD+BE}=\frac14.$ From $\triangle AQD\sim\triangle FQB$ , $\frac{BQ}{BD}=\frac{BF}{AD+BF}=\frac25.$

Therefore $BP=\frac14BD$ , $PQ=\left(\frac25-\frac14\right)BD=\frac3{20}BD$ , and $QD=\frac35BD$ . Thus $\begin{aligned} BP:PQ:QD &= \frac14:\frac3{20}:\frac35 \\ &= 5:3:12. \end{aligned}$ The sum is $5+3+12=20$ .

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 10A 第 19 题

答案：E

难度评级：1720

解答：

其他年份的第 19 题