Question

在 $\triangle{ABC}$ 中， $\angle{C} = 90^{\circ}$ ，且 $AB = 12$ 。在三角形外侧作正方形 $ABXY$ 和 $ACWZ$ 。点 $X, Y, Z$ 与 $W$ 共圆。求该三角形的周长。

In $\triangle{ABC},$ $\angle{C} = 90^{\circ}$ and $AB = 12.$ Squares $ABXY$ and $ACWZ$ are constructed outside of the triangle. The points $X, Y, Z,$ and $W$ lie on a circle. What is the perimeter of the triangle?

$12+9\sqrt{3}$

$18+6\sqrt{3}$

$12+12\sqrt{2}$

$30$

$32$

答案：C

知识点：外接圆、外心与外接圆半径直角三角形垂直平分线

难度评级：2010

解答：

过 $X,Y,Z,W$ 的圆心在 $XY$ 和 $ZW$ 的垂直平分线上，也就是在 $AB$ 和 $AC$ 的垂直平分线上，所以同一点也是直角三角形 $ABC$ 的外心。

因此圆心是斜边中点 $O$ ，其中斜边为 $AB$ ，所以 $OA=OB=OC=6$ 。令 $a=\frac12BC$ 、 $b=\frac12CA$ ，则 $a^2+b^2=6^2$ 。

由正方形 $AB$ 可得 $OX^2=6^2+12^2=180$ 。由正方形 $AC$ 可知，对应半径也给出 $OW^2=b^2+(a+2b)^2$ 。因此结合 $a^2+b^2=36$ ，得到 $a=b=3\sqrt{2}$ 。 $b(a+b)=36$ $a^2+b^2=36$ $ab=a^2$ $a>0$ $b^2+(a+2b)^2=180.$

于是 $AC=BC=6\sqrt{2}$ ，所以周长为 $12+12\sqrt{2}$ 。

所以正确答案是 C。

The center of the circle through $X,Y,Z,W$ lies on the perpendicular bisectors of $XY$ and $ZW$ . These are also the perpendicular bisectors of $AB$ and $AC$ , so the same point is the circumcenter of right triangle $ABC$ .

Therefore the center is the midpoint $O$ of hypotenuse $AB$ , so $OA=OB=OC=6$ . Let $a=\frac12BC$ and $b=\frac12CA$ . Then $a^2+b^2=6^2$ .

From the square on $AB$ , $OX^2=6^2+12^2=180$ . From the square on $AC$ , the corresponding radius also gives $OW^2=b^2+(a+2b)^2$ . Hence $b^2+(a+2b)^2=180.$ Subtracting $a^2+b^2=36$ from this equation gives $b(a+b)=36$ . But $a^2+b^2=36$ as well, so $ab=a^2$ . Since $a>0$ , we get $a=b=3\sqrt{2}$ .

Thus $AC=BC=6\sqrt{2}$ , and the perimeter is $12+12\sqrt{2}$ .

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 10B 第 19 题

答案：C

难度评级：2010

解答：

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