2015 AMC 10A 第 20 题

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20.

一个边长以

\mathrm{cm}

计且为正整数的长方形，面积为

A

\mathrm{cm}^2

，周长为

P

\mathrm{cm}

。下列哪个数不可能等于

A+P

？

A rectangle with positive integer side lengths in

\mathrm{cm}

has area

A

\mathrm{cm}^2

and perimeter

P

\mathrm{cm}.

Which of the following numbers cannot equal

A+P?

100

102

104

106

108

答案：B

知识点：面积周长西蒙最爱的因式分解技巧

难度评级：1540

小提示：

把

A+P+4

因式分解为

(x+2)(y+2)

。

Factor

A+P+4

as

(x+2)(y+2)

大提示：

加

4

之后逐一检验各个选项。

Test the choices after adding

4

解答：

设长方形的正整数边长为

x

和

y

，则

\begin{aligned} &A+P=xy+2x+2y \\ &=(x+2)(y+2)-4 \end{aligned}\text{。}

因此

A+P+4

必须分解成两个都至少为

3

的整数之积。

各选项加

4

后得到

104,106,108,110,112

。除

106

外，其余数都有两个不小于

3

的因数：

104=4\cdot26\text{，}

108=9\cdot12\text{，}

110=10\cdot11\text{，}

112=7\cdot16\text{。}

但

106=2\cdot53

，不能等于

(x+2)(y+2)

。

所以正确答案是 B。

Let the side lengths be positive integers

x

and

y

. Then

\begin{aligned} &A+P=xy+2x+2y \\ &=(x+2)(y+2)-4. \end{aligned}

Hence

A+P+4

must factor into two integers both at least

3

.

The answer choices plus

4

are

104,106,108,110,112

. All except

106

have a factorization with both factors at least

3

:

104=4\cdot26,

108=9\cdot12,

110=10\cdot11,

112=7\cdot16.

But

106=2\cdot53

, so it cannot equal

(x+2)(y+2)

.

Thus, B is the correct answer.