Question

一个边长以 $\text{cm}$ 计且为正整数的长方形，面积为 $A$ $\text{cm}^2$ ，周长为 $P$ $\text{cm}$ 。下列哪个数不可能等于 $A+P$ ？

A rectangle with positive integer side lengths in $\text{cm}$ has area $A$ $\text{cm}^2$ and perimeter $P$ $\text{cm}.$ Which of the following numbers cannot equal $A+P?$

$100$

$102$

$104$

$106$

$108$

答案：B

知识点：面积周长西蒙最爱的因式分解技巧

难度评级：1540

解答：

设长方形的正整数边长为 $x$ 和 $y$ ，则因此 $A+P+4$ 必须分解成两个都至少为 $3$ 的整数之积。 $\begin{aligned} &A+P=xy+2x+2y \\ &=(x+2)(y+2)-4. \end{aligned}$

各选项加 $4$ 后得到 $104,106,108,110,112$ 。除 $106$ 外，其余数都有两个不小于 $3$ 的因数：但 $106=2\cdot53$ ，不能等于 $(x+2)(y+2)$ 。 $104=4\cdot26,$ $108=9\cdot12,$ $110=10\cdot11,$ $112=7\cdot16.$

所以正确答案是 B。

Let the side lengths be positive integers $x$ and $y$ . Then $\begin{aligned} &A+P=xy+2x+2y \\ &=(x+2)(y+2)-4. \end{aligned}$ Hence $A+P+4$ must factor into two integers both at least $3$ .

The answer choices plus $4$ are $104,106,108,110,112$ . All except $106$ have a factorization with both factors at least $3$ : $104=4\cdot26,$ $108=9\cdot12,$ $110=10\cdot11,$ $112=7\cdot16.$ But $106=2\cdot53$ , so it cannot equal $(x+2)(y+2)$ .

Thus, B is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 20 题

答案：B

难度评级：1540

解答：

其他年份的第 20 题