Question

等腰直角三角形 $ABC$ 在 $C$ 处为直角，面积为 $12.5$ 。三等分 $\angle ACB$ 的两条射线与 $AB$ 相交于 $D$ 和 $E$ 。求 $\triangle CDE$ 的面积。

The isosceles right triangle $ABC$ has right angle at $C$ and area $12.5.$ The rays trisecting $\angle ACB$ intersect $AB$ at $D$ and $E.$ What is the area of $\triangle CDE?$

$\dfrac{5\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{50\sqrt{3}-75}{4}$

$\dfrac{15\sqrt{3}}{8}$

$\dfrac{50-25\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{25}{6}$

答案：D

知识点：特殊直角三角形面积分割三角形面积

难度评级：1880

解答：

因为 $\triangle ABC$ 是面积为 $12.5$ 的等腰直角三角形，所以两条直角边长为 $5$ ；三等分线给出 $\angle ACD=30^\circ$ 和 $\angle BCE=30^\circ$ ，并且 $\triangle ACD$ 与 $\triangle BCE$ 全等。

从 $D$ 向 $AC$ 作垂线，垂足为 $F$ 。因为 $D$ 在 $AB$ 上且 $\angle A=45^\circ$ ，所以 $\triangle AFD$ 是等腰直角三角形。设 $AF=DF=h$ ，则 $CF=5-h$ 。由 $30^\circ$ 直角三角形关系，因此 $5-h=h\sqrt{3}$ ，所以 $h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$ 。 $\frac{CF}{DF}=\sqrt{3}.$

因此从 $\triangle ABC$ 的面积中减去两个全等的角上三角形，得到 $\begin{aligned} &[ACD]=\frac12\cdot 5\cdot h \\ &=\frac{25\sqrt{3}-25}{4}. \end{aligned}$ $\begin{aligned} &[CDE]=\frac{25}{2} \\ &\quad {}-2\cdot\frac{25\sqrt{3}-25}{4} \\ &=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

Since $\triangle ABC$ is isosceles right with area $12.5$ , its legs have length $5$ . The trisectors make $\angle ACD=30^\circ$ and $\angle BCE=30^\circ$ , so $\triangle ACD$ and $\triangle BCE$ have equal area.

Drop a perpendicular from $D$ to $AC,$ with foot $F.$ Since $D$ lies on $AB$ and $\angle A=45^\circ,$ $\triangle AFD$ is isosceles right. Let $AF=DF=h.$ Then $CF=5-h,$ and the $30^\circ$ angle gives $\frac{CF}{DF}=\sqrt{3}.$ Thus $5-h=h\sqrt{3}$ , so $h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$ .

Therefore $\begin{aligned} &[ACD]=\frac12\cdot 5\cdot h \\ &=\frac{25\sqrt{3}-25}{4}. \end{aligned}$ Subtracting the two congruent corner triangles from $\triangle ABC$ , $\begin{aligned} &[CDE]=\frac{25}{2} \\ &\quad {}-2\cdot\frac{25\sqrt{3}-25}{4} \\ &=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 19 题

答案：D

难度评级：1880

解答：

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