Question

$abcd$ 的重排中，有多少种排列使得任意两个相邻字母都不是字母表中相邻的字母？例如，这样的排列不能包含 $ab$ 或 $ba$ 。

How many rearrangements of $abcd$ are there in which no two adjacent letters are also adjacent letters in the alphabet? For example, no such rearrangements could include either $ab$ or $ba.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：有限制的排列分类讨论

难度评级：1370

解答：

禁用的相邻字母对为 $ab,ba,bc,cb,cd,dc$ 。

若排列以 $a$ 开头，第二个字母只能是 $c$ 或 $d$ 。

在 $ac$ 之后，无论怎样排列剩余字母，都会出现 $cb$ 或 $cd$ 。在 $ad$ 之后，剩余的 $b$ 和 $c$ 必须相邻。因此不存在以 $a$ 开头的合格排列。

由对称性，也不存在以 $d$ 开头的合格排列。

若以 $b$ 开头，后面必须依次为 $d$ 、 $a$ 、 $c$ ，得到 $bdac$ 。

同理，以 $c$ 开头时只能得到 $cadb$ 。因此共有 $2$ 种合格排列。

所以正确答案是 C。

The forbidden adjacent pairs are $ab,ba,bc,cb,cd,dc.$

If an arrangement starts with $a,$ its second letter must be $c$ or $d.$

After $ac,$ either remaining order contains $cb$ or $cd.$ After $ad,$ the remaining $b$ and $c$ must be adjacent. Thus no valid arrangement starts with $a.$

By symmetry, no valid arrangement starts with $d.$

If an arrangement starts with $b,$ it must continue with $d,$ then $a,$ then $c,$ giving $bdac.$

Similarly, starting with $c$ gives only $cadb.$ Therefore there are $2$ valid rearrangements.

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A 第 10 题

答案：C

难度评级：1370

解答：

其他年份的第 10 题