Question

有多少个整数 $x$ 使 $x^4-51x^2+50$ 为负？

For how many integers $x$ is the number $x^4-51x^2+50$ negative?

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

答案：C

知识点：因式分解不等式区间内整数计数

难度评级：1280

解答：

首先注意到 $x^4-51x^2+50$ $= (x^2-50)(x^2-1).$

乘积为负，当且仅当两个因子异号。由于 $x^2-50<x^2-1$ ，必须有 $x^2-50<0<x^2-1$ 。所以 $1<x^2<50$ ，即 $2\le |x|\le7$ 。正整数解有 $6$ 个，负整数解也有 $6$ 个，共有 $12$ 个。

所以正确答案是 C。

First, note that $x^4-51x^2+50$ $= (x^2-50)(x^2-1).$

The product is negative exactly when its two factors have opposite signs. Since $x^2-50<x^2-1$ , this requires $x^2-50<0<x^2-1$ . Thus $1<x^2<50$ , or $2\le |x|\le7$ . There are $6$ positive and $6$ negative integer solutions, for a total of $12$ .

Thus, the correct answer is C .

2014 AMC 10B 第 20 题

答案：C

难度评级：1280

解答：

其他年份的第 20 题