Question

六个正六边形围绕一个边长为 $1$ 的正六边形，如图所示。求 $\triangle{ABC}$ 的面积。

Six regular hexagons surround a regular hexagon of side length $1$ as shown. What is the area of $\triangle{ABC}?$

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$1+3\sqrt{2}$

$2+2\sqrt{3}$

$3+2\sqrt{3}$

答案：B

知识点：正多边形等边三角形三角形面积

难度评级：1480

解答：

由旋转对称性， $60^\circ$ ，所以这个三角形是等边三角形。 $A=(0,0)$ $B=(3,\sqrt3)$ $C=(3,-\sqrt3)$

$BC=2\sqrt3$ 的四分之一是一个直角三角形中与 $\triangle ABC$ 相对的直角边，斜边为，所以 $\begin{aligned} AB=AC&=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=2\sqrt3. \end{aligned}$ $\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=3\sqrt3.$

因此所以等边三角形的面积为所以正确答案是 B。

Follow the $60^\circ$ grid formed by the unit hexagons and place $A=(0,0)$ . The marked vertices may then be written as $B=(3,\sqrt3)$ and $C=(3,-\sqrt3)$ .

Thus $BC=2\sqrt3$ , and $\begin{aligned} AB=AC&=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=2\sqrt3. \end{aligned}$ Hence $\triangle ABC$ is equilateral, with area $\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=3\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B .

2014 AMC 10B 第 13 题

答案：B

难度评级：1480

解答：

其他年份的第 13 题