2014 AMC 10B 第 13 题

Question

六个正六边形围绕一个边长为

1

的正六边形，如图所示。求

\triangle{ABC}

的面积。

Six regular hexagons surround a regular hexagon of side length

1

as shown. What is the area of

\triangle{ABC}?

2\sqrt{3}

3\sqrt{3}

1+3\sqrt{2}

2+2\sqrt{3}

3+2\sqrt{3}

利用正六边形的角度求出

\triangle ABC

的边长。

Use the regular hexagon angles to find the side of

\triangle ABC

得到的三角形是等边三角形。

The resulting triangle is equilateral

沿着单位正六边形构成的

60^\circ

网格建立坐标，取

A=(0,0)

。于是图中标出的另外两个顶点可以写成

B=(3,\sqrt3)

和

C=(3,-\sqrt3)

。

因此

BC=2\sqrt3

，且

\begin{aligned} AB=AC&=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=2\sqrt3 \end{aligned}\text{。}

于是

\triangle ABC

是等边三角形，面积为

\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=3\sqrt3\text{。}

所以正确答案是 B。

Follow the

60^\circ

grid formed by the unit hexagons and place

A=(0,0)

. The marked vertices may then be written as

B=(3,\sqrt3)

and

C=(3,-\sqrt3)

.

Thus

BC=2\sqrt3

, and

\begin{aligned} AB=AC&=\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}\\ &=2\sqrt3. \end{aligned}

Hence

\triangle ABC

is equilateral, with area

\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=3\sqrt3.

Thus, the correct answer is B .

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