2013 AMC 10A 第 23 题

Question

在

\triangle ABC

中，

AB = 86

，且

AC=97

。以

A

为圆心、

AB

为半径的圆与

\overline{BC}

交于点

B

和

X

。此外，

\overline{BX}

和

\overline{CX}

的长度都是整数。

BC

是多少？

In

\triangle ABC,

AB = 86,

and

AC=97.

A circle with center

A

and radius

AB

intersects

\overline{BC}

at points

B

and

X.

Moreover

\overline{BX}

and

\overline{CX}

have integer lengths. What is

BC?

11

28

33

61

72

答案：D

知识点：圆幂质因数分解三角不等式

难度评级：2010

小提示：

从点

C

使用圆的幂。

Use power of a point from

C

大提示：

分解

AC^2-AB^2

，再用三角形不等式选择有效因数对。

Factor

AC^2-AB^2

and use the triangle inequality to choose the valid factor pair

解答：

由点

C

的圆幂，

CB\cdot CX

=AC^2-AB^2

=97^2-86^2

。

右边等于

(97-86)(97+86)

=11\cdot183

=2013

=3\cdot11\cdot61

。

CX

和

BX

都是整数，所以

BC=BX+CX

是与

CX

配对的整数因数。还需满足

CX<BC<86+97=183

，唯一可行因数对为

CX=33

、

BC=61

。

所以正确答案是 D。

By power of a point from

C

,

CB\cdot CX

=AC^2-AB^2

=97^2-86^2

.

This equals

(97-86)(97+86)

=11\cdot183

=2013

=3\cdot11\cdot61

.

Both

CX

and

BX

are integers, so

BC=BX+CX

is an integer factor paired with

CX

. Also

CX<BC<86+97=183

, so the only possible pair is

CX=33

,

BC=61

.

Thus, D is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 23 题

答案：D

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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