Question

长方形 $ABCD$ 中， $AB = 6$ ， $BC = 3$ 。点 $M$ 在边 $AB$ 上，使得 $\angle AMD = \angle CMD$ 。 $\angle AMD$ 的度数是多少？

Rectangle $ABCD$ has $AB = 6$ and $BC = 3.$ Point $M$ is chosen on side $AB$ so that $\angle AMD = \angle CMD.$ What is the degree measure of $\angle AMD?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

答案：E

知识点：矩形等腰三角形三角学

难度评级：1540

解答：

因为 $AB \parallel DC$ ，所以 $\angle AMD$ 等于 $\angle MDC$ 。

又题设给出 $\angle MDC = \angle DMC$ ，所以三角形 $MDC$ 为等腰三角形， $MC = DC = 6$ 。

在直角三角形中，由边长比例可得 $\sin (\angle CMB) = \frac 12$ ，因此 $\angle CMB = 30^\circ$ 。

因此 $\angle AMC = 150^\circ$ 。由于 $\angle AMD$ 是它的一半， $\angle AMD = 75^\circ$ 。

所以正确答案是 E。

The angles $\angle AMD$ and $\angle MDC$ are equal since $AB \parallel DC.$

As such, $\angle MDC = \angle DMC ,$ making $MDC$ isosceles and $MC = DC = 6.$

As we can see, $\sin (\angle CMB) = \frac 12,$ making $\angle CMB = 30^\circ .$

Therefore, $\angle AMC = 150^\circ .$ Since $\angle AMD$ is half of that, $\angle AMD = 75^\circ .$

Thus, the correct answer is E .

2011 AMC 10B 第 18 题

答案：E

难度评级：1540

解答：

其他年份的第 18 题