2008 AMC 10B 第 3 题

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3.

假设

x

是正实数。下列哪一项等价于

\sqrt[3]{x\sqrt{x}}\,\text{？}

Assume that

x

is a positive real number. Which is equivalent to

\sqrt[3]{x\sqrt{x}}\,?

x^{\frac{1}{6}}

x^{\frac{1}{4}}

x^{\frac{3}{8}}

x^{\frac{1}{2}}

x

答案：D

知识点：指数根式

难度评级：940

小提示：

写成

\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

。

Write

\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

大提示：

此时

x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}

，取立方根会把指数除以

3

。

Then

x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}},

and the cube root divides the exponent by

3

解答：

因为

\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

，所以

x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}

。

取立方根相当于指数乘以

\tfrac13

，得到

\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}}

。

所以正确答案是 D。

Since

\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}},

we have

x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}.

Taking the cube root multiplies the exponent by

\tfrac13,

giving

\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}}.

Thus, the correct answer is D.