Question

对正整数 $n$ ，令 $\langle n \rangle$ 表示 $n$ 的所有正因数之和，但不包括 $n$ 本身。例如， $\langle 4 \rangle = 1 + 2 = 3$ ，且 $\langle 12 \rangle = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$ 。求 $\langle\langle\langle 6 \rangle\rangle\rangle$ 的值。

For the positive integer $n,$ let $\langle n \rangle$ denote the sum of all the positive divisors of $n$ with the exception of $n$ itself. For example, $\langle 4 \rangle = 1 + 2 = 3$ and $\langle 12 \rangle = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.$ What is $\langle\langle\langle 6 \rangle\rangle\rangle?$

$6$

$12$

$24$

$32$

$36$

答案：A

知识点：因数之和函数

难度评级：940

小提示：

$\langle 6 \rangle$ 是 $6$ 的所有正因数之和，但不包括 $6$ 本身。

$\langle 6 \rangle$ is the sum of the divisors of $6$ other than $6$

大提示：

先计算 $\langle 6 \rangle$ ；结果会再次代入同一个运算。

Compute $\langle 6 \rangle$ first; the result feeds back into the same operation

解答：

$6$ 的正因数中，不包括 $6$ 本身的有 $1, 2$ 和 $3$ ，所以 $\langle 6 \rangle = 1 + 2 + 3 = 6$ 。

再次对 $6$ 应用这个运算仍得到 $6$ ，因此 $\langle\langle\langle 6 \rangle\rangle\rangle = 6$ 。

一个数若等于其真因数之和，称为完全数，而 $6$ 是最小的完全数。

所以正确答案是 A。

The positive divisors of $6$ other than $6$ are $1, 2,$ and $3,$ so $\langle 6 \rangle = 1 + 2 + 3 = 6.$

Since applying the operation to $6$ again returns $6,$ we get $\langle\langle\langle 6 \rangle\rangle\rangle = 6.$

(A number equal to the sum of its proper divisors is called a perfect number, and $6$ is the smallest.)

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 10A 第 3 题

答案：A

难度评级：940

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题