Question

有多少个直角三角形的两条直角边为整数 $a$ 和 $b$ ，斜边长为 $b+1$ ，且 $b\lt 100$ ？

How many right triangles have integer leg lengths $a$ and $b$ and a hypotenuse of length $b+1,$ where $b\lt 100?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：A

知识点：勾股数完全平方数

难度评级：1310

解答：

由 $a^2+b^2=(b+1)^2$ 得 $a^2=2b+1$ ，所以 $a$ 是奇数，且 $a^2$ 是奇完全平方数。

因为 $b\lt 100$ ，需要 $a^2=2b+1\lt 201$ ，且当 $b\ge 4$ 时有 $a^2\ge 9$ 。奇平方数 $9,25,49,81,121,169$ 给出 $a=3,5,7,9,11,13$ ，共有 $6$ 个三角形。

所以正确答案是 A。

From $a^2+b^2=(b+1)^2$ we get $a^2=2b+1,$ so $a$ is odd and $a^2$ is an odd perfect square.

Since $b\lt 100,$ we need $a^2=2b+1\lt 201,$ and $a^2\ge 9$ for $b\ge 4.$ The odd squares $9,25,49,81,121,169$ give $a=3,5,7,9,11,13,$ which is $6$ triangles.

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 10B 第 15 题

答案：A

难度评级：1310

解答：

其他年份的第 15 题