2008 AMC 10B 第 15 题

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15.

有多少个直角三角形的两条直角边为整数

a

和

b

，斜边长为

b+1

，且

b\lt 100

？

How many right triangles have integer leg lengths

a

and

b

and a hypotenuse of length

b+1,

where

b\lt 100?

6

7

8

9

10

答案：A

知识点：勾股数完全平方数

难度评级：1310

小提示：

建立

a^2+b^2=(b+1)^2

并化简。

Set

a^2+b^2=(b+1)^2

and simplify

大提示：

这给出

a^2=2b+1

，所以

a^2

是满足

a^2\lt 201

的奇完全平方数。

This gives

a^2=2b+1,

so

a^2

is an odd perfect square with

a^2\lt 201

解答：

由

a^2+b^2=(b+1)^2

得

a^2=2b+1

，所以

a

是奇数，且

a^2

是奇完全平方数。

因为

b\lt 100

，需要

a^2=2b+1\lt 201

，且当

b\ge 4

时有

a^2\ge 9

。奇平方数

9,25,49,81,121,169

给出

a=3,5,7,9,11,13

，共有

6

个三角形。

所以正确答案是 A。

From

a^2+b^2=(b+1)^2

we get

a^2=2b+1,

so

a

is odd and

a^2

is an odd perfect square.

Since

b\lt 100,

we need

a^2=2b+1\lt 201,

and

a^2\ge 9

for

b\ge 4.

The odd squares

9,25,49,81,121,169

give

a=3,5,7,9,11,13,

which is

6

triangles.

Thus, the correct answer is A.