2008 AMC 10B 第 10 题

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10.

点

A

和

B

在半径为

5

的圆上，且

AB=6

。点

C

是小弧

AB

的中点。线段

AC

的长度是多少？

Points

A

and

B

are on a circle of radius

5

and

AB=6.

Point

C

is the midpoint of the minor arc

AB.

What is the length of the line segment

AC?

\sqrt{10}

\dfrac{7}{2}

\sqrt{14}

\sqrt{15}

4

答案：A

知识点：弦勾股定理圆

难度评级：1170

小提示：

从圆心经过

C

的直线垂直平分弦

AB

。

The line from the center through

C

perpendicularly bisects chord

AB

大提示：

先求圆心到弦的距离，再从

5

中减去它，得到到

C

的距离，然后使用一条直角边为

3

的直角三角形。

Find the center-to-chord distance, subtract from

5

to reach

C,

then use the right triangle with leg

3

解答：

设

O

为圆心，

D

为

AB

的中点。于是

OD\perp AB

，且

AD=3

，所以

OD=\sqrt{5^2-3^2}=4

。

因为

C

是小弧中点，所以

O

、

D

、

C

共线，且

DC=OC-OD=5-4=1

。

因此

AC=\sqrt{AD^2+DC^2}

=\sqrt{3^2+1^2}

=\sqrt{10}

。

所以正确答案是 A。

Let

O

be the center and

D

the midpoint of

AB.

Then

OD\perp AB

with

AD=3,

so

OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.

Since

C

is the midpoint of the minor arc,

O,

D,

C

are collinear and

DC=OC-OD=5-4=1.

Then

AC=\sqrt{AD^2+DC^2}

=\sqrt{3^2+1^2}

=\sqrt{10}.

Thus, the correct answer is A.