2006 AMC 10B 第 20 题

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20.

在矩形

ABCD

中，

A=(6,-22)

、

B=(2006,178)

，且

D=(8,y)

，其中

y

为整数。矩形

ABCD

的面积是多少？

In rectangle

ABCD,

we have

A=(6,-22),

B=(2006,178),

and

D=(8,y)

for some integer

y.

What is the area of rectangle

ABCD?

4000

4040

4400

40{,}000

40{,}400

答案：E

知识点：坐标几何斜率距离公式

难度评级：1580

小提示：

\overline{AB}\perp\overline{AD}

，所以它们的斜率乘积为

-1

。

\overline{AB}\perp\overline{AD},

so their slopes multiply to

-1

大提示：

面积为

AB\cdot AD

。

The area is

AB\cdot AD

解答：

\overline{AB}

的斜率为

\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}

。由于

\overline{AD}\perp\overline{AB}

，其斜率为

-10

，所以

\tfrac{y+22}{8-6}=-10

，得到

y=-42

。

于是

AB=\sqrt{2000^2+200^2}

=200\sqrt{101}

，且

AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}

。

面积为

200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101}

=400\cdot101

=40{,}400

。

所以正确答案是 E。

The slope of

\overline{AB}

is

\tfrac{178-(-22)}{2006-6}=\tfrac{200}{2000}=\tfrac1{10}.

Since

\overline{AD}\perp\overline{AB},

its slope is

-10,

so

\tfrac{y+22}{8-6}=-10

gives

y=-42.

Then

AB=\sqrt{2000^2+200^2}

=200\sqrt{101}

and

AD=\sqrt{2^2+20^2}=2\sqrt{101}.

The area is

200\sqrt{101}\cdot2\sqrt{101}

=400\cdot101

=40{,}400.

Thus, the correct answer is E.