Question

对多少个实数 $x$ ， $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 是整数？

For how many real values of $x$ is $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ an integer?

$3$

$6$

$9$

$10$

$11$

答案：E

知识点：根式区间内整数计数

难度评级：1390

解答：

令 $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 。因为 $\sqrt{x} \ge 0$ ，需要 $0 \le k \le \sqrt{120}$ ，所以 $k \in \{0, 1, \ldots, 10\}$ ，共有 $11$ 个可能。

每个 $k$ 给出 $\sqrt{x} = 120 - k^2$ ，且 $120 - k^2$ 为正并严格递减，所以所得 $x = (120 - k^2)^2$ 互不相同。

所以正确答案是 E。

Let $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}.$ Since $\sqrt{x} \ge 0,$ we need $0 \le k \le \sqrt{120},$ so $k \in \{0, 1, \ldots, 10\},$ giving $11$ values.

Each $k$ yields $\sqrt{x} = 120 - k^2,$ and since $120 - k^2$ is positive and strictly decreasing, the resulting values $x = (120 - k^2)^2$ are distinct.

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 10A 第 10 题

答案：E

难度评级：1390

解答：

其他年份的第 10 题