2005 AMC 10A 第 15 题

Question

有多少个正立方数能整除

3! \cdot 5! \cdot 7!

？

How many positive cubes divide

3! \cdot 5! \cdot 7!?

2

3

4

5

6

答案：E

知识点：质因数分解因数个数阶乘

难度评级：1580

小提示：

将

3! \cdot 5! \cdot 7!

写成质因数幂的乘积。

Write

3! \cdot 5! \cdot 7!

as a product of prime powers

大提示：

立方数因子中每个质数的指数都必须是

3

的倍数；分别数每个质数可选的指数。

A cube divisor uses each prime to an exponent that is a multiple of

3;

count the allowed exponents for each prime

解答：

质因数分解为

3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7

。立方数因子的质数指数必须是

3

的倍数：

2

的指数可为

0

、

3

或

6

，有

3

种；

3

的指数可为

0

或

3

，有

2

种；

5

和

7

的指数只能为

0

。因此共有

3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6

个立方数因子。

所以正确答案是 E。

As a product of primes,

3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.

A cube divisor uses exponents that are multiples of

3:

the exponent of

2

can be

0,

3,

or

6

(

3

choices), the exponent of

3

can be

0

or

3

(

2

choices), and the exponents of

5

and

7

must be

0.

That gives

3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6

cubes.

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 10A 第 15 题

答案：E

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

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