Question

有多少个正立方数能整除 $3! \cdot 5! \cdot 7!$ ？

How many positive cubes divide $3! \cdot 5! \cdot 7!?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：E

知识点：质因数分解因数个数阶乘

难度评级：1580

解答：

质因数分解为 $3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ 。立方数因子的质数指数必须是 $3$ 的倍数： $2$ 的指数可为 $0, 3$ 或 $6$ ，有 $3$ 种； $3$ 的指数可为 $0$ 或 $3$ ，有 $2$ 种； $5$ 和 $7$ 的指数只能为 $0$ 。因此共有 $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ 个立方数因子。

所以正确答案是 E。

As a product of primes, $3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.$ A cube divisor uses exponents that are multiples of $3:$ the exponent of $2$ can be $0, 3,$ or $6$ ( $3$ choices), the exponent of $3$ can be $0$ or $3$ ( $2$ choices), and the exponents of $5$ and $7$ must be $0.$ That gives $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ cubes.

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 10A 第 15 题

答案：E

难度评级：1580

解答：

其他年份的第 15 题