2004 AMC 10B 第 12 题

Question

圆环是两个同心圆之间的区域。图中同心圆半径分别为

b

和

c

，其中

b \gt c

。令

\overline{OX}

为大圆半径，

\overline{XZ}

在

Z

点与小圆相切，

\overline{OY}

是经过

Z

的大圆半径。设

a = XZ

、

d = YZ

、

e = XY

。这个圆环的面积是多少？

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii

b

and

c,

with

b \gt c.

Let

\overline{OX}

be a radius of the larger circle, let

\overline{XZ}

be tangent to the smaller circle at

Z,

and let

\overline{OY}

be the radius of the larger circle that contains

Z.

Let

a = XZ,

d = YZ,

and

e = XY.

What is the area of the annulus?

\pi a^2

\pi b^2

\pi c^2

\pi d^2

\pi e^2

答案：A

知识点：圆环圆面积切线勾股定理

难度评级：1390

小提示：

环形区域面积为

\pi b^2 - \pi c^2

。

The annulus area is

\pi b^2 - \pi c^2

大提示：

因为

\overline{XZ}

在

Z

点相切，三角形

OZX

是直角三角形，所以

b^2 - c^2 = a^2

。

Since

\overline{XZ}

is tangent at

Z,

triangle

OZX

is right-angled, giving

b^2 - c^2 = a^2

解答：

圆环面积是两个圆面积之差，即

\pi b^2 - \pi c^2

。

因为

\overline{XZ}

在

Z

点与小圆相切，所以它垂直于半径

\overline{OZ}

。在直角三角形

OZX

中，

OX = b

、

OZ = c

、

XZ = a

，所以

b^2 - c^2 = a^2

。

因此圆环面积为

\pi a^2

。

所以正确答案是 A。

The annulus is the difference of the two circular areas,

\pi b^2 - \pi c^2.

Because

\overline{XZ}

is tangent to the small circle at

Z,

it is perpendicular to the radius

\overline{OZ}.

In right triangle

OZX

with

OX = b,

OZ = c,

and

XZ = a,

we get

b^2 - c^2 = a^2.

Therefore the area of the annulus is

\pi a^2.

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 10B 第 12 题

答案：A

难度评级：1390

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题