2002 AMC 10B 第 19 题

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19.

设

\{a_n\}

是等差数列，且

a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100

和

a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200\text{。}

求

a_2 - a_1

的值。

Suppose that

\{a_n\}

is an arithmetic sequence with

a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100

and

a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200.

What is the value of

a_2 - a_1?

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

答案：C

知识点：等差数列求和

难度评级：1460

小提示：

若

d = a_2 - a_1

，则

a_{k+100}

比

a_k

大

100d

。

Each term

a_{k+100}

exceeds

a_k

by

100d,

where

d = a_2 - a_1

大提示：

两个区间和相减，可以分离出

10000d

。

Subtract the two block sums to isolate

10000d

解答：

设

d = a_2 - a_1

。因为

a_{k+100} = a_k + 100d

，第二组的一百项相对于第一组对应项的增量都相同，所以第二组的总和比第一组多

100\cdot 100 d

：

\begin{aligned} &a_{101} + \cdots + a_{200} \\ &= (a_1 + \cdots + a_{100}) \\ &\quad {}+ 10000d \end{aligned}\text{。}

因此

200 = 100 + 10000d

，解得

d = \dfrac{100}{10000} = 0.01

。

所以正确答案是 C。

Let

d = a_2 - a_1.

Then

a_{k+100} = a_k + 100d,

so the second block sum is the first plus

100\cdot 100 d:

\begin{aligned} &a_{101} + \cdots + a_{200} \\ &= (a_1 + \cdots + a_{100}) \\ &\quad {}+ 10000d. \end{aligned}

Therefore

200 = 100 + 10000d,

giving

d = \dfrac{100}{10000} = 0.01.

Thus, the correct answer is C.