Question

二〇〇一年，美国将主办国际数学奥林匹克。设 $I$ 、 $M$ 和 $O$ 是互不相同的正整数，且 $I \cdot M \cdot O = 2001$ 。那么 $I + M + O$ 的最大可能值是多少？

In the year 2001, the United States will host the International Mathematical Olympiad. Let $I,$ $M,$ and $O$ be distinct positive integers such that the product $I \cdot M \cdot O = 2001.$ What is the largest possible value of the sum $I + M + O?$

$23$

$55$

$99$

$111$

$671$

答案：E

知识点：质因数分解最优化

难度评级：960

解答：

分解质因数得 $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

若一个因数是 $1,$ 另两个因数可能为 $(3,667),$ $(23,87),$ 或 $(29,69).$ 它们与 $1$ 的和分别为 $671,$ $111,$ 和 $99.$ （数对 $(1,2001)$ 会重复因数 $1.$ ）

若没有因数是 $1,$ 三个质因数必须分别分给三个整数，只能得到 $3,23,29$ ，其和小得多。因此最大可能的和是 $1 + 3 + 667 = 671.$

所以正确答案是 E。

Factoring gives $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

If one factor is $1,$ the possible pairs for the other two factors are $(3,667),$ $(23,87),$ and $(29,69).$ Their corresponding sums with $1$ are $671,$ $111,$ and $99.$ (The pair $(1,2001)$ would repeat the factor $1.$ )

If no factor is $1,$ all three prime factors must be split among the three integers, giving only $3,23,29$ and a much smaller sum. Therefore, the largest possible sum is $1 + 3 + 667 = 671.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 10 第 1 题

答案：E

难度评级：960

解答：

其他年份的第 1 题