2000 AMC 10 第 1 题

Question

2001

年，美国将主办国际数学奥林匹克。设

I

、

M

和

O

是互不相同的正整数，且

I \cdot M \cdot O = 2001

。那么

I + M + O

的最大可能值是多少？

In the year

2001,

the United States will host the International Mathematical Olympiad. Let

I,

M,

and

O

be distinct positive integers such that the product

I \cdot M \cdot O = 2001.

What is the largest possible value of the sum

I + M + O?

23

55

99

111

671

答案：E

知识点：质因数分解最优化

难度评级：960

小提示：

将

2001

分解成质因数。

Factor

2001

into primes

大提示：

要让和尽可能大，可以让一个因数尽可能小，从而让另一个因数尽可能大。

To make the sum large, keep one factor as small as possible so another can be as large as possible

解答：

分解质因数得

2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29

。

若一个因数是

1

，另两个因数可能为

(3,667)

，

(23,87)

，或

(29,69)

。它们与

1

的和分别为

671

，

111

，和

99

。（数对

(1,2001)

会重复因数

1

。）

若没有因数是

1

，三个质因数必须分别分给三个整数，只能得到

3,23,29

，其和小得多。因此最大可能的和是

1 + 3 + 667 = 671

。

所以正确答案是 E。

Factoring gives

2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.

If one factor is

1,

the possible pairs for the other two factors are

(3,667),

(23,87),

and

(29,69).

Their corresponding sums with

1

are

671,

111,

and

99.

(The pair

(1,2001)

would repeat the factor

1.

)

If no factor is

1,

all three prime factors must be split among the three integers, giving only

3,23,29

and a much smaller sum. Therefore, the largest possible sum is

1 + 3 + 667 = 671.

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 10 第 1 题

答案：E

难度评级：960

小提示：

大提示：

解答：

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