Question

在直角三角形 $ABC$ 中， $AC=12$ 、 $BC=5$ ，且角 $C$ 是直角。如图，一个半圆内切于该三角形。这个半圆的半径是多少？

In the right triangle $ABC,$ $AC=12,$ $BC=5,$ and angle $C$ is a right angle. A semicircle is inscribed in the triangle as shown. What is the radius of the semicircle?

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{13}{5}$

$\dfrac{59}{18}$

$\dfrac{10}{3}$

$\dfrac{60}{13}$

答案：D

知识点：切线相似

难度评级：1640

视频讲解：

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文字解答：

设 $O$ 为内切半圆圆心， $D$ 为半圆与 $\overline{AB}$ 的切点。于是 $BD = 5$ ，因为 $\overline{BD}$ 和 $\overline{BC}$ 是从同一点作出的切线，所以 $AD = 8$ 。设 $OD = r$ ，且 $\overline{OD}$ 垂直于 $\overline{AB}$ 。因此 $\triangle ADO \sim \triangle BCA$ ，有 $\dfrac{r}{8} = \dfrac{5}{12}$ ，解得 $r = \dfrac{10}{3}$ 。

所以正确答案是 D。

Let $O$ be the center of the inscribed semicircle and $D$ be the tangent point of the semicircle on $\overline{AB}.$ Then $BD = 5$ since $\overline{BD}$ and $\overline{BC}$ are tangents to the semicircle. Then $AD = 8$ and $OD = r.$ $\overline{OD}$ is perpendicular to $\overline{AB}$ so $\triangle ADO \sim \triangle BCA,$ so $\dfrac{r}{8} = \dfrac{5}{12}.$ Solving this, we get $r = \dfrac{10}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 8 第 22 题

答案：D

难度评级：1640

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