Question

对于使 $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ 也为整数的所有整数 $n$ ，求这些数的和；其中 $f(n) = n^3 - 5n^2 + 2n + 8$ ， $g(n) = n^3 - 6n^2 + 5n + 12$ 。

Let $f(n) = n^3 - 5n^2 + 2n + 8,$ and let $g(n) = n^3 - 6n^2 + 5n + 12.$ What is the sum of all integer values of $n$ for which $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ is also an integer?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：A

知识点：多项式因式分解整除性

难度评级：1510

解答：

分解因式： $f(n) = (n + 1)(n - 2)(n - 4)$ ， $g(n) = (n + 1)(n - 3)(n - 4)$ 。避开 $n \in \{-1, 3, 4\}$ 这些使 $g$ 为零或出现 $\tfrac{0}{0}$ 的值后，可约去公因式： $\dfrac{f(n)}{g(n)} = \dfrac{n - 2}{n - 3} = 1 + \dfrac{1}{n - 3}$ 。这只有在 $n - 3 = \pm 1$ 时才是整数，所以 $n = 2$ 或 $n = 4$ 。但 $n = 4$ 使 $g$ 为零，因此只有 $n = 2$ ，和为 $2$ 。因此正确答案是 A。

Factor both cubics: $f(n) = (n + 1)(n - 2)(n - 4)$ and $g(n) = (n + 1)(n - 3)(n - 4).$ Away from $n \in \{-1, 3, 4\},$ where $g$ vanishes or the ratio is $\tfrac{0}{0},$ the common factors cancel and $\dfrac{f(n)}{g(n)} = \dfrac{n - 2}{n - 3} = 1 + \dfrac{1}{n - 3}.$ That's an integer only when $n - 3 = \pm 1,$ so $n = 2$ or $n = 4.$ But $n = 4$ kills $g,$ so only $n = 2$ survives, and the sum is $2.$ Therefore, the answer is A.

2025 AMC 10B 第 10 题

答案：A

难度评级：1510

解答：

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