2025 AMC 10A 第 12 题

Question

Carlos 用一个

4

位密码解锁电脑。在他的密码中，恰好一个数字是偶数，恰好一个（可能是不同的）数字是质数，并且没有数字是

0

。有多少个

4

位密码满足这些条件？

Carlos uses a

4

-digit passcode to unlock his computer. In his passcode, exactly one digit is even, exactly one (possibly different) digit is prime, and no digit is

0.

How many

4

-digit passcodes satisfy these conditions?

176

192

432

464

608

答案：D

知识点：分类讨论乘法原理

难度评级：1560

小提示：

先把唯一的偶数数字放在

4

个位置之一，最后乘以

4

；其余三个数字都是奇数。

Place the single even digit in one of

4

positions and multiply by

4;

the other three digits are odd

大提示：

分两种情况：唯一的质数是偶数

2

，或是奇质数

3, 5

或

7

中的一个。

Split on whether the one prime digit is the even one (

2

) or an odd one (

3, 5,

or

7

)

解答：

没有数字是

0

，所以可用数字为

1

到

9

。先固定唯一的偶数数字在第一个位置，最后再乘以

4

来选择它的位置。按这个偶数数字分类。若它是质数

2

，则三个奇数数字都必须不是质数，所以每个只能是

1

或

9

，共有

2^3 = 8

种。否则偶数数字是

4, 6

或

8

，有

3

种；三个奇数位置中恰好一个是质数，可选

3, 5

或

7

，有

3

种，并可放在

3

个奇数位置之一；另外两个奇数来自

\{1, 9\}

，有

2^2

种。这部分共有

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 108

种。总数为

4(8 + 108) = 464

。因此正确答案是 D。

No digit is

0,

so digits run from

1

to

9.

Put the single even digit in the first slot for now and multiply by

4

at the end to place it. Split on that even digit. If it’s the prime

2,

then the three odd digits all have to be non-prime, so each is

1

or

9,

giving

2^3 = 8

ways. Otherwise the even digit is

4, 6,

or

8

(

3

choices), and exactly one of the odd digits is prime, worth

3, 5,

or

7

(

3

choices) in one of the

3

odd positions, while the other two odds come from

\{1, 9\}

(

2^2

ways). That’s

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 108.

Altogether,

4(8 + 108) = 464.

Therefore, the answer is D.

2025 AMC 10A 第 12 题

答案：D

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

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