Question

Carlos 用一个 $4$ 位密码解锁电脑。在他的密码中，恰好一个数字是偶数，恰好一个（可能是不同的）数字是质数，并且没有数字是 $0$ 。有多少个 $4$ 位密码满足这些条件？

Carlos uses a $4$ -digit passcode to unlock his computer. In his passcode, exactly one digit is even, exactly one (possibly different) digit is prime, and no digit is $0.$ How many $4$ -digit passcodes satisfy these conditions?

$176$

$192$

$432$

$464$

$608$

答案：D

知识点：分类讨论乘法原理

难度评级：1560

解答：

没有数字是 $0$ ，所以可用数字为 $1$ 到 $9$ 。先固定唯一的偶数数字在第一个位置，最后再乘以 $4$ 来选择它的位置。按这个偶数数字分类。若它是质数 $2$ ，则三个奇数数字都必须不是质数，所以每个只能是 $1$ 或 $9$ ，共有 $2^3 = 8$ 种。否则偶数数字是 $4, 6$ 或 $8$ ，有 $3$ 种；三个奇数位置中恰好一个是质数，可选 $3, 5$ 或 $7$ ，有 $3$ 种，并可放在 $3$ 个奇数位置之一；另外两个奇数来自 $\{1, 9\}$ ，有 $2^2$ 种。这部分共有 $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 108$ 种。总数为 $4(8 + 108) = 464$ 。因此正确答案是 D。

No digit is $0,$ so digits run from $1$ to $9.$ Put the single even digit in the first slot for now and multiply by $4$ at the end to place it. Split on that even digit. If it's the prime $2,$ then the three odd digits all have to be non-prime, so each is $1$ or $9,$ giving $2^3 = 8$ ways. Otherwise the even digit is $4, 6,$ or $8$ ( $3$ choices), and exactly one of the odd digits is prime, worth $3, 5,$ or $7$ ( $3$ choices) in one of the $3$ odd positions, while the other two odds come from $\{1, 9\}$ ( $2^2$ ways). That's $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 = 108.$ Altogether, $4(8 + 108) = 464.$ Therefore, the answer is D.

2025 AMC 10A 第 12 题

答案：D

难度评级：1560

解答：

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