Question

使 $n!$ 是 $2024$ 的倍数的最小 $n$ 是多少？

What is the least value of $n$ such that $n!$ is a multiple of $2024?$

$11$

$21$

$22$

$23$

$253$

答案：D

知识点：阶乘整除性质因数分解

难度评级：1130

解答：

分解得 $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23$ 。质数 $23$ 是关键：要使 $n!$ 含有因子 $23$ ，必须有 $n \ge 23$ 。当 $n = 23$ 时， $23!$ 已经含有因子 $23$ 、 $11$ ，以及足够多的因子 $2$ ，所以 $2024 \mid 23!$ ，最小值为 $23$ 。因此正确答案是 D。

Factor $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23.$ The prime $23$ is the bottleneck: for $23$ to divide $n!,$ we need $n \ge 23.$ At $n = 23,$ the product $23!$ already has $23,$ $11,$ and plenty of factors of $2,$ so $2024 \mid 23!.$ The least value is $23.$ Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10A 第 5 题

答案：D

难度评级：1130

解答：

其他年份的第 5 题