2023 AMC 10A 第 12 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

有多少个三位正整数

N

同时满足下面两个性质？

• 数

N

能被

7

整除。

• 把

N

的数字倒序后形成的数能被

5

整除。

How many three-digit positive integers

N

satisfy the following properties?

• The number

N

is divisible by

7.

• The number formed by reversing the digits of

N

is divisible by

5.

13

14

15

16

17

答案：B

知识点：整除性数字区间内整数计数

难度评级：1440

小提示：

倒序数的个位是

N

的首位；要能被

5

整除，该数字必须是

0

或

5

。

The reversed number ends in the first digit of

N,

and for divisibility by

5

that digit must be

0

or

5

大提示：

因为

N

是三位数，所以它以

5

开头；数出

500

到

599

中

7

的倍数。

Since

N

is three digits it starts with

5;

count the multiples of

7

from

500

to

599

解答：

倒序

N

后，它的个位是

N

的首位。若倒序数能被

5

整除，则该数字为

0

或

5

。三位数不能以

0

开头，所以

N

以

5

开头，也就是

500 \le N \le 599

（倒序数总会以

5

结尾）。现在只需数其中

7

的倍数：从

7 \cdot 72 = 504

到

7 \cdot 85 = 595

，共有

14

个数。因此，答案是 B。

When we reverse

N,

its last digit is the first digit of

N.

For the reversal to be divisible by

5,

that digit is

0

or

5.

A three-digit number can’t start with

0,

so

N

starts with

5,

meaning

500 \le N \le 599

(and the reversal ends in

5,

always fine). Now just count multiples of

7

here: from

7 \cdot 72 = 504

to

7 \cdot 85 = 595,

that’s

14

numbers. Therefore, the answer is B.