2021 AMC 10B Fall 第 13 题

Question

一个边长为

3

的正方形内接于一个等腰三角形，其中正方形的一条边在三角形的底边上。另一个边长为

2

的正方形有两个顶点在第一个正方形上，另外两个顶点在三角形的边上，如图所示。三角形的面积是多少？

A square with side length

3

is inscribed in an isosceles triangle with one side of the square along the base of the triangle. A square with side length

2

has two vertices on the other square and the other two on sides of the triangle, as shown. What is the area of the triangle?

19\frac14

20\frac14

21 \frac34

22\frac12

23\frac34

答案：B

知识点：相似三角形面积正方形（几何）

难度评级：1660

小提示：

用相似三角形关联不同高度处的宽度。

Use similar triangles to relate widths at different heights

大提示：

三角形在相差

2

的两个高度处宽度分别为

2

和

3

。

The triangle widths are

2

and

3

at heights separated by

2

解答：

设等腰三角形的高为

H

，底为

B

。由相似性，三角形内水平方向的宽度与到顶点的距离成正比。

大正方形的上边长为

3

，距顶点

H-3

。小正方形的上边长为

2

，距顶点

H-5

。因此

\frac{3}{H-3}=\frac{2}{H-5}\text{。}

解得

H=9

。又

\frac{B}{H}=\frac{3}{H-3}

，所以

B=\frac{9}{2}

。面积为

\frac12\cdot\frac92\cdot9=\frac{81}{4}=20\frac14

。

所以答案是 B。

Let the isosceles triangle have height

H

and base

B.

By similarity, horizontal widths in the triangle are proportional to distance from the top vertex.

The top side of the larger square has width

3

and is

H-3

units from the top. The top side of the smaller square has width

2

and is

H-5

units from the top. Hence

\frac{3}{H-3}=\frac{2}{H-5}.

Solving gives

H=9.

Also

\frac{B}{H}=\frac{3}{H-3},

so

B=\frac{9}{2}.

The area is

\frac12\cdot\frac92\cdot9=\frac{81}{4}=20\frac14.

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall 第 13 题

答案：B

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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