Question

一个边长为 $1$ 的正六边形内接于一个圆。由正六边形每条边所截出的圆的小弧，分别关于该边反射。由这 $6$ 条反射弧围成的区域面积是多少？

A regular hexagon of side length $1$ is inscribed in a circle. Each minor arc of the circle determined by a side of the hexagon is reflected over that side. What is the area of the region bounded by these $6$ reflected arcs?

$\frac{5\sqrt{3}}{2} - \pi$

$3\sqrt{3}-\pi$

$4\sqrt{3}-\frac{3\pi}{2}$

$\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

答案：B

知识点：面积分割正多边形圆面积

难度评级：1630

解答：

原圆由正六边形和 $6$ 个相同的圆弓形组成。将每条小弧关于对应边反射后，这 $6$ 个圆弓形都移到六边形内部。

因此原圆面积与反射弧围成区域面积的平均数等于正六边形面积。正六边形面积为 $6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}$ ，原圆半径为 $1$ ，所以面积为 $\pi$ 。

因此原圆面积和所求反射弧区域面积的平均等于正六边形面积。设所求面积为 $A$ ，则 $\frac{A+\pi}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}$ ，所以 $A=3\sqrt3-\pi$ 。

所以正确答案是 B。

The original circle is made from the regular hexagon plus $6$ equal circular segments. Reflecting each minor arc over its side puts those same $6$ segments inside the hexagon instead.

Therefore the average of the circle's area and the reflected-arc region's area is the area of the regular hexagon. The hexagon has area $6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2},$ and the circle has radius $1,$ so its area is $\pi.$

If the desired area is $A,$ then $\frac{A+\pi}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$ so $A=3\sqrt3-\pi.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall 第 11 题

答案：B

难度评级：1630

解答：

其他年份的第 11 题