2021 AMC 10A Fall 第 15 题

Question

等腰三角形

ABC

满足

AB = AC = 3\sqrt6

，一个半径为

5\sqrt2

的圆分别与直线

AB

、

AC

相切于点

B

、

C

。经过顶点

A

、

B

、

C

的圆的面积是多少？

Isosceles triangle

ABC

has

AB = AC = 3\sqrt6,

and a circle with radius

5\sqrt2

is tangent to line

AB

at

B

and to line

AC

at

C.

What is the area of the circle that passes through vertices

A,

B,

and

C?

24\pi

25\pi

26\pi

27\pi

28\pi

答案：C

知识点：外接圆、外心与外接圆半径圆内接四边形切线勾股定理

难度评级：1820

小提示：

连接切圆圆心与

B

和

C

。

Join the center of the tangent circle to

B

and

C

大提示：

B

和

C

处的直角说明

A,B,O,C

四点共圆。

Right angles at

B

and

C

put

A,B,O,C

on one circle

解答：

设

O_1

是与

AB

和

AC

相切的圆的圆心。则

\angle ABO_1=\angle ACO_1=90^\circ

，所以

A,B,O_1,C

四点共圆。

因为

B

和

C

处的直角所对的弦是

AO_1

，所以线段

AO_1

是这个圆的直径。设

O_2

为其圆心。同一个圆经过

A,B

和

C

，所以它就是所求的外接圆。

在

\triangle ABO_1

中应用勾股定理，得到

\begin{aligned} AO_1&=\sqrt{AB^2+BO_1^2}\\ &=\sqrt{54+50}=2\sqrt{26} \end{aligned}\text{。}

因此外接圆半径为

\sqrt{26}

，所求面积为

26\pi

。

所以正确答案是 C。

Let

O_1

be the center of the circle tangent to

AB

and

AC.

Then

\angle ABO_1=\angle ACO_1=90^\circ,

so

A,B,O_1,C

are concyclic.

Because the right angles at

B

and

C

subtend

AO_1,

the segment

AO_1

is a diameter of this circle. Let

O_2

be its center. The same circle passes through

A,B,

and

C,

so it is the desired circumcircle.

By the Pythagorean Theorem in

\triangle ABO_1,

\begin{aligned} AO_1&=\sqrt{AB^2+BO_1^2}\\ &=\sqrt{54+50}=2\sqrt{26}. \end{aligned}

Therefore, the circumradius is

\sqrt{26},

and the requested area is

26\pi.

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 15 题

答案：C

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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