Question

等腰三角形 $ABC$ 满足 $AB = AC = 3\sqrt6$ ，一个半径为 $5\sqrt2$ 的圆分别与直线 $AB$ 、 $AC$ 相切于点 $B$ 、 $C$ 。经过顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的圆的面积是多少？

Isosceles triangle $ABC$ has $AB = AC = 3\sqrt6,$ and a circle with radius $5\sqrt2$ is tangent to line $AB$ at $B$ and to line $AC$ at $C.$ What is the area of the circle that passes through vertices $A,$ $B,$ and $C?$

$24\pi$

$25\pi$

$26\pi$

$27\pi$

$28\pi$

答案：C

知识点：外接圆、外心与外接圆半径圆内接四边形切线勾股定理

难度评级：1820

解答：

设 $O_1$ 是与 $AB$ 和 $AC.$ 相切的圆的圆心。则 $\angle ABO_1=\angle ACO_1=90^\circ,$ 所以 $A,B,O_1,C$ 四点共圆。

因为 $B$ 和 $C$ 处的直角所对的弦是 $AO_1,$ 所以线段 $AO_1$ 是这个圆的直径。设 $O_2$ 为其圆心。同一个圆经过 $A,B,$ 和 $C,$ 所以它就是所求的外接圆。

在 $\triangle ABO_1,$ 中应用勾股定理，得到 $\begin{aligned} AO_1&=\sqrt{AB^2+BO_1^2}\\ &=\sqrt{54+50}=2\sqrt{26}. \end{aligned}$ 因此外接圆半径为 $\sqrt{26},$ 所求面积为 $26\pi.$

所以正确答案是 C。

Let $O_1$ be the center of the circle tangent to $AB$ and $AC.$ Then $\angle ABO_1=\angle ACO_1=90^\circ,$ so $A,B,O_1,C$ are concyclic.

Because the right angles at $B$ and $C$ subtend $AO_1,$ the segment $AO_1$ is a diameter of this circle. Let $O_2$ be its center. The same circle passes through $A,B,$ and $C,$ so it is the desired circumcircle.

By the Pythagorean Theorem in $\triangle ABO_1,$ $\begin{aligned} AO_1&=\sqrt{AB^2+BO_1^2}\\ &=\sqrt{54+50}=2\sqrt{26}. \end{aligned}$ Therefore, the circumradius is $\sqrt{26},$ and the requested area is $26\pi.$

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 15 题

答案：C

难度评级：1820

解答：

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