2021 AMC 10B Spring 第 20 题

Question

下图由

11

条线段构成，每条线段长度都为

2

。五边形

ABCDE

的面积可写成

\sqrt{m} + \sqrt{n}

，其中

m

和

n

为正整数。

m + n

等于多少？

The figure below is constructed from

11

line segments, each of which has length

2.

The area of pentagon

ABCDE

can be written as

\sqrt{m} + \sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers. What is

m + n ?

20

21

22

23

24

答案：D

知识点：面积分割等边三角形特殊直角三角形

难度评级：1950

小提示：

利用相等线段识别等边三角形的高。

Use the equal length segments to identify equilateral-triangle altitudes

大提示：

把五边形分成两侧部分和中间的等腰三角形。

Split the pentagon into two side pieces and the central isosceles triangle

解答：

设

F

为与

A,B

和

C

都相连但未标字母的点。因为所有画出的线段长度都是

2

，三角形

ABF

和

CBF

是位于

BF

两侧的等边三角形。因此

\angle ABC=120^\circ

，所以

[ABC]=\frac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3\text{。}

另一侧同理可得

[ADE]=\sqrt3

。此外，在

\triangle ABC

中应用余弦定理，得

AC^2=12

，同理

AD^2=12

。因此等腰三角形

ACD

到底边

CD=2

的高为

\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}\text{。}

所以

[ACD]=\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}

。五边形的总面积为

\sqrt{12}+\sqrt{11}\text{，}

所以

m+n=12+11=23

。

所以答案是 D。

Let

F

be the unlabeled point joined to

A,B,

and

C.

Because all the drawn segments have length

2,

triangles

ABF

and

CBF

are equilateral and lie on opposite sides of

BF.

Hence

\angle ABC=120^\circ,

so

[ABC]=\frac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3.

The same reasoning on the other side gives

[ADE]=\sqrt3.

Also, the Law of Cosines in

\triangle ABC

gives

AC^2=12,

and similarly

AD^2=12.

Thus the altitude of isosceles triangle

ACD

to its base

CD=2

is

\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.

Therefore

[ACD]=\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}.

The pentagon’s total area is

\sqrt{12}+\sqrt{11},

so

m+n=12+11=23.

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring 第 20 题

答案：D

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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