Question

设 $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$ 。 $N$ 的奇因数之和与 $N$ 的偶因数之和的比是多少？

Let $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270.$ What is the ratio of the sum of the odd divisors of $N$ to the sum of the even divisors of $N?$

$1 : 16$

$1 : 15$

$1 : 14$

$1 : 8$

$1 : 3$

答案：C

知识点：因数之和质因数分解奇偶性

难度评级：1140

解答：

分解质因数得 $N =2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

若 $x$ 是 $N$ 的一个奇因数，则 $2x,4x,8x$ 都是 $N$ 的偶因数，它们的和为 $14x$ 。把所有奇因数都这样配对，偶因数之和就是奇因数之和的 $14$ 倍。因此所求比为 $1:14$ 。

所以答案是 C。

Using prime factorization, we get $N =2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

If we have an odd divisor $x$ of $N,$ then $2x,4x,8x$ are divisors of $N,$ which has a combined sum of $14x.$ If we take the sum of every odd divisor, then the even divisors must have a sum which is $14$ times the sum of the odd divisors. Therefore, the requested ratio is $1:14.$

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Spring 第 12 题

答案：C

难度评级：1140

解答：

其他年份的第 12 题