2021 AMC 10A Spring 第 19 题

Question

由图像

x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|

围成的区域面积为

m+n\pi

，其中

m

、

n

是整数。求

m + n

。

The area of the region bounded by the graph of

x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|

is

m+n\pi,

where

m

and

n

are integers. What is

m + n?

18

27

36

45

54

答案：E

知识点：绝对值圆面积分割

难度评级：2150

小提示：

按

x-y

和

x+y

的符号分成四种情况。

Split the graph by the signs of

x-y

and

x+y

大提示：

四种情况会给出围绕中心正方形的半圆弧。

The four cases give semicircle arcs around a central square

解答：

按

x-y

和

x+y

的符号分类。例如在一种情况中，

|x-y|=x-y

且

|x+y|=x+y

，所以

\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9 \end{gathered}\text{。}

其余三种情况类似，得到半径为

3

、圆心分别在

(0,3)

、

(-3,0)

和

(0,-3)

的圆。相应的四段全等圆弧就构成了图像的边界。

围成区域由边长

6

的中心正方形和四个半径为

3

的半圆组成。正方形面积为

36

，四个半圆的总面积等于两个半径为

3

的圆，即

18\pi

。

因此面积为

36+18\pi

，所以

m+n=36+18=54

。

所以正确答案是 E。

Consider the four sign cases for

x-y

and

x+y.

In one case, for example,

|x-y|=x-y

and

|x+y|=x+y,

so

\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}

The other three cases similarly give circles of radius

3

centered at

(0,3),

(-3,0),

and

(0,-3).

The relevant arcs form the boundary shown by these four congruent circle pieces.

The region consists of a central square of side length

6,

together with four semicircles of radius

3.

The square contributes area

36,

and the four semicircles have the area of two full radius-

3

circles, namely

18\pi.

Therefore the area is

36+18\pi,

so

m+n=36+18=54.

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring 第 19 题

答案：E

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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