2020 AMC 10B 第 20 题

Question

设

B

为一个边长分别为

1

、

3

和

4

的长方体盒子，连同其内部一起考虑。对实数

r\geq0

，令

S(r)

为

3

维空间中距离

B

中某点不超过

r

的所有点组成的集合。

S(r)

的体积可表示为

ar^{3} + br^{2} + cr +d\text{，}

其中

a

、

b

、

c

和

d

为正实数。

\dfrac{bc}{ad}

是多少？

Let

B

be a right rectangular prism (box) with edge lengths

1,

3,

and

4,

together with its interior. For real

r\geq0,

let

S(r)

be the set of points in

3

-dimensional space that lie within a distance

r

of some point in

B.

The volume of

S(r)

can be expressed as

ar^{3} + br^{2} + cr +d,

where

a,

b,

c,

and

d

are positive real numbers. What is

\dfrac{bc}{ad}?

6

19

24

26

38

答案：B

知识点：体积立体几何长方体

难度评级：2150

小提示：

把膨胀后的立体分解为原长方体、面外的棱柱层、边上的四分之一圆柱和角上的八分之一球。

Decompose the enlarged solid into the original box, face slabs, edge quarter-cylinders, and corner eighth-spheres

大提示：

r^2

的系数来自每条边上的四分之一圆柱。

The coefficient of

r^2

comes from one quarter-cylinder along each edge

视频讲解：

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文字解答：

按附加体积相对于长方体的位置分解

S(r)

。

原长方体体积为

d=1\cdot3\cdot4=12

。六个面外的棱柱层贡献表面积乘

r

，所以

c=2(1\cdot3+1\cdot4+3\cdot4)=38\text{。}

每条边外有一个半径为

r

的四分之一圆柱。所有棱长之和为

4(1+3+4)=32

，所以

b=\frac14\pi\cdot 32=8\pi\text{。}

八个角上的八分之一球合成一个完整球，所以

a=\frac43\pi\text{。}

因此

\frac{bc}{ad}=\frac{(8\pi)(38)}{(\frac43\pi)(12)}=19\text{。}

所以正确答案是 B。

Decompose

S(r)

by where the added volume lies relative to the box.

The original box has volume

d=1\cdot3\cdot4=12.

The face slabs contribute surface area times

r,

so

c=2(1\cdot3+1\cdot4+3\cdot4)=38.

Along each edge is a quarter-cylinder of radius

r.

The sum of all edge lengths is

4(1+3+4)=32,

so

b=\frac14\pi\cdot 32=8\pi.

At the eight corners, the eighth-spheres combine to one full sphere, so

a=\frac43\pi.

Therefore

\frac{bc}{ad}=\frac{(8\pi)(38)}{(\frac43\pi)(12)}=19.

Thus, the correct answer is B .