Question

设 $B$ 为一个边长分别为 $1$ 、 $3$ 和 $4$ 的长方体盒子，连同其内部一起考虑。对实数 $r\geq0$ ，令 $S(r)$ 为 $3$ 维空间中距离 $B$ 中某点不超过 $r$ 的所有点组成的集合。 $S(r)$ 的体积可表示为其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 为正实数。求 $\dfrac{bc}{ad}$ ？ $ar^{3} + br^{2} + cr +d,$

Let $B$ be a right rectangular prism (box) with edge lengths $1,$ $3,$ and $4,$ together with its interior. For real $r\geq0,$ let $S(r)$ be the set of points in $3$ -dimensional space that lie within a distance $r$ of some point in $B.$ The volume of $S(r)$ can be expressed as $ar^{3} + br^{2} + cr +d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive real numbers. What is $\dfrac{bc}{ad}?$

$6$

$19$

$24$

$26$

$38$

答案：B

知识点：体积立体几何长方体

难度评级：2150

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文字解答：

按附加体积相对于长方体的位置分解 $S(r)$ 。

原长方体体积为 $d=1\cdot3\cdot4=12$ 。六个面外的棱柱层贡献表面积乘 $r$ ，所以 $c=2(1\cdot3+1\cdot4+3\cdot4)=38.$

每条边外有一个半径为 $r$ 的四分之一圆柱。所有棱长之和为 $4(1+3+4)=32$ ，所以八个角上的八分之一球合成一个完整球，所以 $b=\frac14\pi\cdot 32=8\pi.$ $a=\frac43\pi.$

因此 $\frac{bc}{ad}=\frac{(8\pi)(38)}{(\frac43\pi)(12)}=19.$

所以正确答案是 B。

Decompose $S(r)$ by where the added volume lies relative to the box.

The original box has volume $d=1\cdot3\cdot4=12.$ The face slabs contribute surface area times $r,$ so $c=2(1\cdot3+1\cdot4+3\cdot4)=38.$

Along each edge is a quarter-cylinder of radius $r.$ The sum of all edge lengths is $4(1+3+4)=32,$ so $b=\frac14\pi\cdot 32=8\pi.$ At the eight corners, the eighth-spheres combine to one full sphere, so $a=\frac43\pi.$

Therefore $\frac{bc}{ad}=\frac{(8\pi)(38)}{(\frac43\pi)(12)}=19.$

Thus, the correct answer is B .

2020 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：2150

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