Question

一只青蛙坐在点 $(1, 2)$ ，开始连续跳跃。每次跳跃都平行于某条坐标轴，长度为 $1$ ，方向为上、下、右、左之一，且每次独立随机选择。当青蛙到达以 $(0, 0)$ 、 $(0, 4)$ 、 $(4, 4)$ 和 $(4, 0)$ 为顶点的正方形的一条边时，跳跃序列结束。跳跃序列在正方形的竖直边上结束的概率是多少？

A frog sitting at the point $(1, 2)$ begins a sequence of jumps, where each jump is parallel to one of the coordinate axes and has length $1,$ and the direction of each jump (up, down, right, or left) is chosen independently at random. The sequence ends when the frog reaches a side of the square with vertices $(0, 0),$ $(0, 4),$ $(4, 4),$ and $(4, 0).$ What is the probability that the sequence of jumps ends on a vertical side of the square?

$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{5}{8}$

$\displaystyle \frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{3}{4}$

$\displaystyle \frac{7}{8}$

答案：B

知识点：随机游走方程组对称性

难度评级：1950

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

设 $p(x,y)$ 为从 $(x,y)$ 出发最终先碰到竖直边的概率。由对称性，令 $a=p(1,1)=p(1,3)$ 、 $b=p(2,1)=p(2,3)$ 、 $c=p(1,2)$ ，并令 $d=p(2,2)$ 。

每一步取四个相邻点概率的平均，得到 $a=\dfrac{1+b+c}{4}$ 、 $b=\dfrac{2a+d}{4}$ 、 $c=\dfrac{1+2a+d}{4}$ ，以及 $d=\dfrac{b+c}{2}$ 。解得 $c=\dfrac58$ 。起点为 $(1,2)$ ，所以这就是所求概率。正确答案是 B。

Let $p(x,y)$ be the probability of eventually hitting a vertical side first from point $(x,y)$ . By symmetry, set $a=p(1,1)=p(1,3)$ , $b=p(2,1)=p(2,3)$ , $c=p(1,2)$ , and $d=p(2,2)$ .

The averaging equations are $a=\dfrac{1+b+c}{4}$ , $b=\dfrac{2a+d}{4}$ , $c=\dfrac{1+2a+d}{4}$ , and $d=\dfrac{b+c}{2}$ . Solving gives $c=\dfrac58$ , which is the desired probability from $(1,2)$ . Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 13 题

答案：B

难度评级：1950

视频讲解：

文字解答：

其他年份的第 13 题