2020 AMC 10A 第 12 题

Question

三角形

AMC

是等腰三角形，且

AM = AC

。中线

\overline{MV}

和

\overline{CU}

互相垂直，并且

MV=CU=12

。求

\triangle AMC

的面积。

Triangle

AMC

is isosceles with

AM = AC.

Medians

\overline{MV}

and

\overline{CU}

are perpendicular to each other, and

MV=CU=12.

What is the area of

\triangle AMC?

48

72

96

144

192

答案：C

知识点：中线（几何）重心坐标几何

难度评级：1660

小提示：

把重心放在原点，并让两条垂直中线沿坐标轴方向。

Put the centroid at the origin and align the perpendicular medians with the axes

大提示：

重心把每条中线按

2:1

分割。

The centroid divides each median in a

2:1

ratio

视频讲解：

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文字解答：

设重心为原点。重心把中线按

2:1

分割，所以可令中线

MV

水平，取

M=(8,0)

、

V=(-4,0)

；中线

CU

竖直，取

C=(0,8)

、

U=(0,-4)

。

因为

U

是

AM

的中点，所以

A=2U-M=(-8,-8)

。

\triangle AMC

的面积为

\dfrac12 |(16,8)\times(8,16)|

=\dfrac12(256-64)=96

。正确答案是 C。

Let the centroid be the origin. Since a centroid divides each median in a

2:1

ratio, we may place median

MV

horizontally with

M=(8,0)

and

V=(-4,0)

, and median

CU

vertically with

C=(0,8)

and

U=(0,-4)

.

Because

U

is the midpoint of

AM

, we get

A=2U-M=(-8,-8)

. The area of

\triangle AMC

is

\dfrac12 |(16,8)\times(8,16)|

=\dfrac12(256-64)=96

. Thus, C is the correct answer.