2018 AMC 10B 第 13 题

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13.

数列

101

，

1001

，

10001

，

100001

，

\ldots

的前

2018

项中，有多少项能被

101

整除？

How many of the first

2018

numbers in the sequence

101,

1001,

10001,

100001,

\ldots

are divisible by

101?

253

504

505

506

1009

答案：C

知识点：模运算乘法阶区间内整数计数

难度评级：1570

小提示：

第

k

项是

10^{k+1} + 1

，当

10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}

时能被

101

整除。

The

k

-th term is

10^{k+1} + 1,

which is divisible by

101

when

10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}

大提示：

因为

10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}

，所以

10^m \equiv -1

正好在

m \equiv 2 \pmod 4

时发生。

10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101},

so

10^m \equiv -1

exactly when

m \equiv 2 \pmod 4

解答：

第

k

项为

10^{k+1} + 1

，它能被

101

整除，当且仅当

10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}

。因为

10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}

，所以

10^m \equiv -1

当且仅当

m \equiv 2 \pmod 4

。因此需要

k + 1 \equiv 2

，即

k \equiv 1 \pmod 4

。在

k = 1, 2, \ldots, 2018

中，符合条件的是

1, 5, \ldots, 2017

，共有

505

个。正确答案是 C。

The

k

-th term is

10^{k+1} + 1,

which

101

divides iff

10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}.

Notice

10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}.

So

10^m \equiv -1

exactly when

m \equiv 2 \pmod 4,

meaning

k + 1 \equiv 2,

that is

k \equiv 1 \pmod 4.

Among

k = 1, 2, \ldots, 2018,

the values

1, 5, \ldots, 2017

number

505.

Thus, C is the correct answer.