Question

数 $21!$ $=51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ 有超过 $60{,}000$ 个正整数因子。随机选择其中一个因子。它是奇数的概率是多少？

The number $21!$ $=51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ has over $60{,}000$ positive integer divisors. One of them is chosen at random. What is the probability that it is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{19}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{21}$

答案：B

知识点：因数个数质因数分解基本概率

难度评级：1540

解答：

注意，给定任意整数 $21!=2^{18}d$ ，都可以把它表示为偶数部分和奇数部分的乘积。这来自整数质因数分解的唯一性，因为我们只是把偶素因子（也就是 $2$ ）和其余部分分开。基于这一点，对 $21!$ 做质因数分解时，这种表示中的偶数部分是。因此设，其中 $d$ 是的奇因子。 $\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{21}{2}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{4}\right\rfloor\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{21}{8}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{16}\right\rfloor\\ &=10+5+2+1=18. \end{aligned}$

这意味着 $21!$ 的每个奇因子都是 $d$ 的因子。对 $x$ 的任一奇因子 $x$ ， $x,2x,\ldots,2^{18}x$ 是 $\dfrac1{19}$ 的因子，其中。只有时它为奇数，因此有 $19$ 个可能值。

因此总概率为所以正确答案是 B。

The exponent of $2$ in $21!$ is $\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{21}{2}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{4}\right\rfloor\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{21}{8}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{16}\right\rfloor\\ &=10+5+2+1=18. \end{aligned}$ Thus $21!=2^{18}d$ for some odd integer $d.$

For every divisor $x$ of $d,$ the divisors of $21!$ with odd part $x$ are $x,2x,\ldots,2^{18}x.$ Exactly one of these $19$ divisors is odd, so the probability is $\dfrac1{19}.$

Thus, the correct answer is B .

2017 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：1540

解答：

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