Question

$345$ 可以用多少种方式写成两个或更多个连续正整数的递增序列之和？

In how many ways can $345$ be written as the sum of an increasing sequence of two or more consecutive positive integers?

$\ 1$

$\ 3$

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

答案：E

知识点：等差数列因数个数

难度评级：1660

解答：

设序列长度为 $s$ ，首项为 $x$ 。 $345=s\left(x+\frac{s-1}{2}\right),$ $s(2x+s-1)=690.$

因此 $s$ 必须是 $690$ 的因子，而且 $x=\frac{690/s-s+1}{2}$ 必须是正整数。检查可能的因子长度，得到只有这些长度能使 $x$ 为正整数。 $s=2,3,5,6,10,15,23.$

因此共有 $7$ 种表示。

所以正确答案是 E。

Suppose the sequence has length $s$ and first term $x$ . Then $345=s\left(x+\frac{s-1}{2}\right),$ or $s(2x+s-1)=690.$

Thus $s$ must be a divisor of $690$ , with $x=\frac{690/s-s+1}{2}$ a positive integer. Checking the possible divisor lengths gives $s=2,3,5,6,10,15,23.$ These are the only lengths that keep $x$ positive and integral.

Therefore there are $7$ representations.

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 10B 第 18 题

答案：E

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 18 题