Question

乘积 $(8)(888\dots8)$ 中第二个因子有 $k$ 位数字。该乘积是一个各位数字和为 $1000$ 的整数。求 $k$ 。

The product $(8)(888\dots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

答案：D

知识点：数字找规律数学归纳法

难度评级：1660

解答：

为了观察是否有规律，可以先检验几个较小的 $k$ 。 $8$ $8\frac{10^k-1}{9}$ $k\ge2$ $7$ $k-2$ $0,4$ $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$

有 $k \geq 3$ ， $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

由此可以合理猜测，每增加一，乘积中就多一个数字。会归纳法的话可以证明这个规律，但解题不需要证明。 $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

这说明对任意，乘积的各位数字和为所以正确答案是 D。

The $k$ -digit number made entirely of $8$ s is $8\frac{10^k-1}{9}$ , so the product is $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$ For $k\ge2$ , this is the number whose digits are $7$ , followed by $k-2$ ones, then $0,4$ .

This means that for any $k \geq 3,$ the sum of the digits in the product is $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finally, we get $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A 第 20 题

答案：D

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 20 题