2014 AMC 10A 第 20 题

先试着解答 2014 AMC 10A 第 20 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2014 AMC 10A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

乘积

(8)(888\dots8)

中第二个因子有

k

位数字。该乘积是一个各位数字和为

1000

的整数。求

k

。

The product

(8)(888\dots8),

where the second factor has

k

digits, is an integer whose digits have a sum of

1000.

What is

k?

901

911

919

991

999

答案：D

知识点：数字找规律数学归纳法

难度评级：1660

小提示：

先乘几个小例子，观察数字模式。

Multiply a few examples to see the digit pattern

大提示：

对

k\ge3

，乘积中有

k-2

个数字

1

。

For

k\ge3

, the product has

k-2

digits equal to

1

解答：

由

k

个数字

8

组成的数为

8\frac{10^k-1}{9}

，所以乘积为

\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4 \end{aligned}\text{。}

当

k\ge2

时，这个数的各位依次是

7

、

k-2

个一，再接

0,4

。

因此，对任意

k \geq 3

，乘积的各位数字和为

7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9\text{。}

最后解得

k + 9 = 1000

k = 991\text{。}

所以正确答案是 D。

The

k

-digit number made entirely of

8

s is

8\frac{10^k-1}{9}

, so the product is

\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}

For

k\ge2

, this is the number whose digits are

7

, followed by

k-2

ones, then

0,4

.

This means that for any

k \geq 3,

the sum of the digits in the product is

7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.

Finally, we get

k + 9 = 1000

k = 991.

Thus, D is the correct answer.