2011 AMC 10B 第 15 题

Question

令

@

表示“与……取平均”的运算：

a @ b = \frac{a+b}{2}

。下列哪些分配律对所有数

x

、

y

和

z

都成立？

I.

x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)

II.

x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)

III.

x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)

Let

@

denote the “averaged with” operation:

a @ b = \frac{a+b}{2}.

Which of the following distributive laws hold for all numbers

x,

y,

and

z?

I.

x @ (y + z) = (x @ y) + (x @ z)

II.

x + (y @ z) = (x + y) @ (x + z)

III.

x @ (y @ z) = (x @ y) @ (x @ z)

仅

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

仅

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

仅

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

仅

\mathrm{I}

和

\mathrm{III}

\mathrm{I}

and

\mathrm{III}

only

仅

\mathrm{II}

和

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

答案：E

知识点：自定义运算分配律

难度评级：1280

小提示：

用

a@b=\frac{a+b}{2}

展开每一边。

Expand each side using

a@b=\frac{a+b}{2}

大提示：

分别用代数检验 I、II、III。

Test each of I, II, and III symbolically

解答：

I 的左边为

\dfrac{x+y+z}2

，右边为

x+\dfrac{y+z}2

，不恒相等。

II 的左右两边都等于

x+\dfrac{y+z}2

，所以恒成立。

III 的左右两边都等于

\dfrac{2x+y+z}4

，所以也恒成立。

所以正确答案是 E。

In statement I, the left-hand side equals

\dfrac{x+y+z}2

and the right-hand side equals

x+\dfrac{y+z}2,

so they are not always equal.

In statement II, both sides equal

x+\dfrac{y+z}2,

so it holds.

In statement III, both sides equal

\dfrac{2x+y+z}4,

so it also holds.

Thus, the correct answer is E .

2011 AMC 10B 第 15 题

答案：E

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题