2010 AMC 10B 第 19 题

Question

圆心为

O

的圆面积为

156\pi

。三角形

ABC

是等边三角形，

\overline{BC}

是圆的一条弦，

OA = 4\sqrt{3}

，且点

O

在

\triangle ABC

外。求

\triangle ABC

的边长。

A circle with center

O

has area

156\pi.

Triangle

ABC

is equilateral,

\overline{BC}

is a chord on the circle,

OA = 4\sqrt{3},

and point

O

is outside

\triangle ABC.

What is the side length of

\triangle ABC?

2\sqrt{3}

6

4\sqrt{3}

12

18

答案：B

知识点：弦等边三角形勾股定理

难度评级：1860

小提示：

设边长为

s

，并从

A

作高。

Let

s

be the side length and drop the altitude from

A

大提示：

使用圆半径

\sqrt{156}

和等边三角形的高。

Use the circle radius

\sqrt{156}

and the equilateral triangle altitude

解答：

参考下图：

由圆面积公式可知

BO = \sqrt{156}

，因为它是半径。

延长

\overline{AO}

与

\overline{BC}

交于

X

。设

s

为

\triangle ABC

的边长。

于是

BX = \dfrac{s}{2}

且

AX = \dfrac{s\sqrt3}{2}\text{。}

\triangle OXB

是直角三角形，所以

(\sqrt{156})^2 = \left(\dfrac{s}{2}\right)^2

+ \left(\dfrac{s\sqrt3}{2} + 4\sqrt3\right)^2\text{。}

化简得

156 = s^2 + 12s + 48

s^2 + 12s - 108 = 0

(s - 6)(s + 18) = 0\text{。}

由于

s

为正，

s = 6

。

所以正确答案是 B。

Consider the following diagram:

Using the formula for the area of a circle, we have that

BO = \sqrt{156}

since it is a radius.

Extend

\overline{AO}

to intersect

\overline{BC}

at

X.

Let

s

be the side length of

\triangle ABC.

Then we have that

BX = \dfrac{s}{2}

and

AX = \dfrac{s\sqrt3}{2}.

We have that

\triangle OXB

is right, which means that we can apply the Pythagorean Theorem. This gives us

(\sqrt{156})^2 = \left(\dfrac{s}{2}\right)^2

+ \left(\dfrac{s\sqrt3}{2} + 4\sqrt3\right)^2.

Simplifying, we get

156 = s^2 + 12s + 48

s^2 + 12s - 108 = 0

(s - 6)(s + 18) = 0.

Since

s

is positive, we must have that

s = 6.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B 第 19 题

答案：B

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题