Question

长方形 $ABCD$ 中， $AB=8$ 、 $BC=6$ 。点 $M$ 是对角线 $\overline{AC}$ 的中点，点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{ME}\perp\overline{AC}$ 。 $\triangle AME$ 的面积是多少？

Rectangle $ABCD$ has $AB=8$ and $BC=6.$ Point $M$ is the midpoint of diagonal $\overline{AC},$ and $E$ is on $\overline{AB}$ with $\overline{ME}\perp\overline{AC}.$ What is the area of $\triangle AME?$

$\dfrac{65}{8}$

$\dfrac{25}{3}$

$9$

$\dfrac{75}{8}$

$\dfrac{85}{8}$

答案：D

知识点：相似勾股定理三角形面积

难度评级：1370

解答：

由勾股定理， $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$ ，所以 $AM=5$ 。直角三角形 $AME$ 和 $ABC$ 共用角 $A$ ，因此相似，且得到 $ME=\dfrac{15}{4}$ 。 $\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac68,$

于是 $\begin{gathered} \text{area}(\triangle AME)=\dfrac12\cdot AM\cdot ME \\ = \dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{75}{8}. \end{gathered}$

所以正确答案是 D。

By the Pythagorean Theorem, $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10,$ so $AM=5.$ Right triangles $AME$ and $ABC$ share angle $A,$ so they are similar with $\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac68,$ giving $ME=\dfrac{15}{4}.$

Then $\begin{gathered} \text{area}(\triangle AME)=\dfrac12\cdot AM\cdot ME \\ = \dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{75}{8}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 10B 第 18 题

答案：D

难度评级：1370

解答：

其他年份的第 18 题