2009 AMC 10B 第 18 题

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18.

长方形

ABCD

中，

AB=8

、

BC=6

。点

M

是对角线

\overline{AC}

的中点，点

E

在

\overline{AB}

上，且

\overline{ME}\perp\overline{AC}

。

\triangle AME

的面积是多少？

Rectangle

ABCD

has

AB=8

and

BC=6.

Point

M

is the midpoint of diagonal

\overline{AC},

and

E

is on

\overline{AB}

with

\overline{ME}\perp\overline{AC}.

What is the area of

\triangle AME?

\dfrac{65}{8}

\dfrac{25}{3}

9

\dfrac{75}{8}

\dfrac{85}{8}

答案：D

知识点：相似勾股定理三角形面积

难度评级：1370

小提示：

AC=10

，所以

AM=5

。

AC=10,

so

AM=5

大提示：

\triangle AME\sim\triangle ABC

，给出

\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}

。

\triangle AME\sim\triangle ABC,

giving

\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}

解答：

由勾股定理，

AC=\sqrt{8^2+6^2}=10

，所以

AM=5

。直角三角形

AME

和

ABC

共用角

A

，因此相似，且

\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac68\text{，}

得到

ME=\dfrac{15}{4}

。

于是

\begin{gathered} [\triangle AME]=\dfrac12\cdot AM\cdot ME \\ = \dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{75}{8} \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 D。

By the Pythagorean Theorem,

AC=\sqrt{8^2+6^2}=10,

so

AM=5.

Right triangles

AME

and

ABC

share angle

A,

so they are similar with

\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac68,

giving

ME=\dfrac{15}{4}.

Then

\begin{gathered} [\triangle AME]=\dfrac12\cdot AM\cdot ME \\ = \dfrac12\cdot5\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{75}{8}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.