2009 AMC 10A 第 5 题

Question

111{,}111{,}111

的平方的各位数字之和是多少？

What is the sum of the digits of the square of

111{,}111{,}111?

18

27

45

63

81

先试着平方位数较少、各位都是一的数，如

11

、

111

、

1111

，观察规律。

Try squaring the shorter repunits

11,

111,

1111

to spot a pattern

这个各位都是一的九位数的平方是

12345678987654321

。

The square of the nine-digit repunit is

12345678987654321

这个各位都是一的九位数的平方是回文数

\begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321 \end{aligned}\text{。}

它的各位数字依次为

1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1

，所以数字和为

\begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 E。

The square of the nine-digit repunit is the palindrome

\begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321. \end{aligned}

Its digits are

1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1,

so the sum is

\begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

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