2009 AMC 10A 第 15 题

Question

图中的

F_1

、

F_2

、

F_3

和

F_4

是一个图形序列的前几项。当

n \ge 3

时，

F_n

由

F_{n-1}

构造而成：在它外面围上一个正方形，并且新正方形每条边上的菱形数量比

F_{n-1}

外部正方形每条边上的菱形数量多一个。例如，图形

F_3

有

13

个菱形。图形

F_{20}

中有多少个菱形？

The figures

F_1,

F_2,

F_3,

and

F_4

shown are the first in a sequence of figures. For

n \ge 3,

F_n

is constructed from

F_{n-1}

by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than

F_{n-1}

had on each side of its outside square. For example, figure

F_3

has

13

diamonds. How many diamonds are there in figure

F_{20}?

401

485

585

626

761

答案：E

知识点：递推等差数列求和

难度评级：1400

小提示：

F_n

的外部正方形新增

4(n-1)

个菱形。

The outside square of

F_n

contributes

4(n-1)

new diamonds

大提示：

总数为

1

加上

4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big)

。

The total is

1

plus

4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big)

解答：

从

F_{n-1}

到

F_n

，新的外部正方形带来

4(n-1)

个菱形。从

F_1

的单个菱形开始，

\begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1) \end{aligned}\text{。}

因此

F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761\text{。}

所以正确答案是 E。

Going from

F_{n-1}

to

F_n,

the new outside square carries

4(n-1)

diamonds. Starting from the single diamond of

F_1,

\begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1). \end{aligned}

Therefore

F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761.

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 10A 第 15 题

答案：E

难度评级：1400

小提示：

大提示：

解答：

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