2008 AMC 10A 第 20 题

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20.

梯形

ABCD

的底边为

AB

和

CD

，对角线交于

K

。已知

AB = 9

、

DC = 12

，且

\triangle AKD

的面积为

24

。梯形

ABCD

的面积是多少？

Trapezoid

ABCD

has bases

AB

and

CD

and diagonals intersecting at

K.

Suppose that

AB = 9,

DC = 12,

and the area of

\triangle AKD

is

24.

What is the area of trapezoid

ABCD?

92

94

96

98

100

答案：D

知识点：梯形相似面积比

难度评级：1710

小提示：

三角形

AKB

和

CKD

相似，相似比为

9 : 12

。

Triangles

AKB

and

CKD

are similar with ratio

9 : 12

大提示：

\triangle AKD

和

\triangle BKC

面积相等；再由

[AKD] = 24

按比例求其余三角形的面积。

\triangle AKD

and

\triangle BKC

have equal areas; scale the others from

[AKD] = 24

解答：

三角形

AKB

和

CKD

相似，比例为

\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}

。

因为

\triangle AKD

和

\triangle KCD

的底边

AK

与

KC

在同一直线上，且从

D

出发的高相同，所以

\dfrac{[KCD]}{[AKD]} = \dfrac{KC}{AK} = \dfrac{4}{3}

，于是

[KCD] = 32

。同理

[AKB] = 18

。

另外

[BKC] = [AKD] = 24

。总面积为

24 + 32 + 18 + 24 = 98

。

所以正确答案是 D。

Triangles

AKB

and

CKD

are similar with ratio

\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}.

Since

\triangle AKD

and

\triangle KCD

have bases

AK

and

KC

on the same line and share the same altitude from

D,

\dfrac{[KCD]}{[AKD]} = \dfrac{KC}{AK} = \dfrac{4}{3},

so

[KCD] = 32.

Similarly

[AKB] = 18.

Also

[BKC] = [AKD] = 24.

The total is

24 + 32 + 18 + 24 = 98.

Thus, the correct answer is D.