2008 AMC 10A 第 18 题

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18.

一个直角三角形周长为

32

，面积为

20

。它的斜边长是多少？

A right triangle has perimeter

32

and area

20.

What is the length of its hypotenuse?

\dfrac{57}{4}

\dfrac{59}{4}

\dfrac{61}{4}

\dfrac{63}{4}

\dfrac{65}{4}

答案：B

知识点：勾股定理方程组代数变形

难度评级：1580

小提示：

设两条直角边为

y, z

，斜边为

x

，写出周长、面积和勾股关系。

Let the legs be

y, z

and the hypotenuse

x,

and record perimeter, area, and Pythagorean relations

大提示：

将

y + z = 32 - x

平方，并使用

y^2 + z^2 = x^2

和

yz = 40

。

Square

y + z = 32 - x

and use

y^2 + z^2 = x^2

with

yz = 40

解答：

设两条直角边为

y, z

，斜边为

x

。则

y^2 + z^2 = x^2

，

y + z = 32 - x

，且

yz = 40

。

将第二个等式平方，得到

\begin{aligned} &(32 - x)^2 \\ &\quad = y^2 + z^2 + 2yz = x^2 + 80 \end{aligned}\text{。}

这给出

1024 - 64x = 80

，所以

x = \dfrac{59}{4}

。

所以正确答案是 B。

Let the legs be

y, z

and the hypotenuse

x.

Then

y^2 + z^2 = x^2,

y + z = 32 - x,

and

yz = 40.

Squaring the second equation,

\begin{aligned} &(32 - x)^2 \\ &\quad = y^2 + z^2 + 2yz = x^2 + 80. \end{aligned}

This gives

1024 - 64x = 80,

so

x = \dfrac{59}{4}.

Thus, the correct answer is B.