2007 AMC 10B 第 18 题

Question

如图，一个半径为

1

的圆被

4

个半径为

r

的圆围住。

r

是多少？

A circle of radius

1

is surrounded by

4

circles of radius

r

as shown. What is

r?

\sqrt2

1+\sqrt2

\sqrt6

3

2+\sqrt2

答案：B

知识点：相切圆正方形（几何）二次方程

难度评级：1680

小提示：

连接四个外圆的圆心，形成一个正方形。

Connect the centers of the four outer circles to form a square

大提示：

这个正方形边长为

2r

，对角线为

2+2r

。

The square has side

2r

and diagonal

2+2r

解答：

连接四个外圆的圆心形成正方形。相邻外圆相切，所以每条边长为

2r

。

正方形对角线经过中心圆的圆心，长度为

1+r+r+1=2+2r

。边长为

2r

的正方形对角线为

2r\sqrt2

，所以

2(2r)^2=(2+2r)^2

。

展开得

1+2r+r^2=2r^2

，即

r^2-2r-1=0

。正根为

r=1+\sqrt2

。

所以正确答案是 B。

Connect the centers of the four outer circles to form a square. Adjacent outer circles are tangent, so each side has length

2r.

The diagonal of the square passes through the center of the central circle, giving length

1+r+r+1=2+2r.

Since a square with side

2r

has diagonal

2r\sqrt2,

we get

2(2r)^2=(2+2r)^2.

Expanding gives

1+2r+r^2=2r^2,

so

r^2-2r-1=0.

The positive root is

r=1+\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 10B 第 18 题

答案：B

难度评级：1680

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题