2007 AMC 10A 第 20 题

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20.

设数

a

满足方程

4 = a + a^{-1}

。求

a^4 + a^{-4}

的值。

Suppose that the number

a

satisfies the equation

4 = a + a^{-1}.

What is the value of

a^4 + a^{-4}?

164

172

192

194

212

答案：D

知识点：代数变形对称性（代数）

难度评级：1460

小提示：

将

a + a^{-1}

平方会得到

a^2 + 2 + a^{-2}

。

Squaring

a + a^{-1}

gives

a^2 + 2 + a^{-2}

大提示：

再将

a^2 + a^{-2}

平方，并减去中间项

2

。

Square

a^2 + a^{-2}

and subtract the middle term

2

解答：

将

a + a^{-1} = 4

平方，得到

a^2 + 2 + a^{-2} = 16

，所以

a^2 + a^{-2} = 14

。

再平方得到

a^4 + 2 + a^{-4} = 196

，所以

a^4 + a^{-4} = 194

。

所以正确答案是 D。

Squaring

a + a^{-1} = 4

gives

a^2 + 2 + a^{-2} = 16,

so

a^2 + a^{-2} = 14.

Squaring again gives

a^4 + 2 + a^{-4} = 196,

so

a^4 + a^{-4} = 194.

Thus, the correct answer is D.