2006 AMC 10A 第 19 题

Question

有多少个互不相似的三角形，其三个角的度数是互不相同的正整数，并且成等差数列？

How many non-similar triangles have angles whose degree measures are distinct positive integers in arithmetic progression?

0

1

59

89

178

如果三个角成等差数列，中间角为

60^\circ

。

If the angles are in arithmetic progression, the middle angle is

60^\circ

公差

d

满足

1 \le d \le 59

。

The common difference

d

satisfies

1 \le d \le 59

设三个角为

n - d

，

n

，

n + d

。它们的和为

3n = 180

，所以

n = 60

。

角度是互不相同的正整数，所以

d \ge 1

，且

n - d \gt 0

迫使

d \lt 60

。因此

d \in \{1, 2, \ldots, 59\}

，给出

59

个互不相似的三角形。

所以正确答案是 C。

Let the angles be

n - d,

n,

n + d.

Their sum is

3n = 180,

so

n = 60.

The measures are distinct positive integers, so

d \ge 1,

and

n - d \gt 0

forces

d \lt 60.

Thus

d \in \{1, 2, \ldots, 59\},

giving

59

non-similar triangles.

Thus, the correct answer is C.

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