Question

Rolly 想用一根 $8$ 英尺长的绳子把他的狗拴在一个边长为 $16$ 英尺的正方形棚子上。他的初步图示如下。

哪一种安排让狗能活动的面积更大？大多少平方英尺？

Rolly wishes to secure his dog with an $8$ -foot rope to a square shed that is $16$ feet on each side. His preliminary drawings are shown.

Which of these arrangements gives the dog the greater area to roam, and by how many square feet?

I，大 $8\pi$

I, by $8\pi$

I，大 $6\pi$ 。

I, by $6\pi$

II，大 $4\pi$ 。

II, by $4\pi$

II，大 $8\pi$ 。

II, by $8\pi$

II，大 $10\pi$ 。

II, by $10\pi$

答案：C

知识点：扇形圆面积

难度评级：1420

解答：

安排 I 中，狗拴在一条边的中点，可以扫过半径为 $8$ 的半圆，面积为 $\frac12 \pi \cdot 8^2 = 32\pi$ 。

绳子正好够到角，不能继续绕过。安排 II 中，狗拴在离角 $4$ 英尺处。它同样扫过 $32\pi$ 的半圆；绳子到达角后还剩 $4$ 英尺，可以扫过半径为 $4$ 的四分之一圆，面积为 $\frac14 \pi \cdot 4^2 = 4\pi$ 。

因此 II 的面积为 $36\pi$ ，比 I 多 $4\pi$ 。

所以正确答案是 C。

In arrangement I the dog is tied at the middle of a side and sweeps a half-disk of radius $8$ : area $\frac12 \pi \cdot 8^2 = 32\pi.$ The rope reaches exactly to the corners, so nothing wraps.

In arrangement II the dog is tied $4$ feet from a corner. It sweeps the same $32\pi$ half-disk, and after the rope reaches the corner, $4$ feet remain to sweep a quarter-disk of radius $4$ : $\frac14 \pi \cdot 4^2 = 4\pi.$

So II gives $36\pi,$ exceeding I by $4\pi.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 10A 第 12 题

答案：C

难度评级：1420

解答：

其他年份的第 12 题