2005 AMC 10B 第 10 题

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10.

在

\triangle ABC

中，

AC = BC = 7

，且

AB = 2

。设

D

是直线

AB

上一点，

B

在

A

与

D

之间，且

CD = 8

。

BD

是多少？

In

\triangle ABC,

we have

AC = BC = 7

and

AB = 2.

Suppose that

D

is a point on line

AB

such that

B

lies between

A

and

D

and

CD = 8.

What is

BD?

3

2\sqrt{3}

4

5

4\sqrt{2}

答案：A

知识点：等腰三角形高线勾股定理

难度评级：1370

小提示：

从

C

向直线

AB

作高；垂足是

AB

的中点。

Drop the altitude from

C

to line

AB;

its foot is the midpoint of

AB

大提示：

这条高的长度为

\sqrt{7^2-1^2}

，并被直角三角形

CHB

和

CHD

共用。

The altitude has length

\sqrt{7^2-1^2},

shared by right triangles

CHB

and

CHD

解答：

设

H

为从

C

到直线

AB

的垂足。因为

AC = BC

，

H

是

AB

的中点，所以

BH = 1

，且

CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48

。

在

\triangle CHD

中应用勾股定理，其中

HD = BH + BD = 1 + BD

，得到

8^2 = 48 + (1 + BD)^2\text{，}

所以

(1 + BD)^2 = 16

。

因此

1 + BD = 4

，所以

BD = 3

。

所以正确答案是 A。

Let

H

be the foot of the altitude from

C

to line

AB.

Since

AC = BC,

H

is the midpoint of

AB,

so

BH = 1

and

CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.

Applying the Pythagorean theorem in

\triangle CHD,

where

HD = BH + BD = 1 + BD,

gives

8^2 = 48 + (1 + BD)^2,

so

(1 + BD)^2 = 16.

Then

1 + BD = 4,

so

BD = 3.

Thus, A is the correct answer.