2004 AMC 10B 第 20 题

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20.

在

\triangle ABC

中，点

D

和

E

分别在

\overline{BC}

和

\overline{AC}

上。若

\overline{AD}

与

\overline{BE}

交于

T

，且

\frac{AT}{DT} = 3

、

\frac{BT}{ET} = 4

，求

\frac{CD}{BD}

。

In

\triangle ABC

points

D

and

E

lie on

\overline{BC}

and

\overline{AC},

respectively. If

\overline{AD}

and

\overline{BE}

intersect at

T

so that

\frac{AT}{DT} = 3

and

\frac{BT}{ET} = 4,

what is

\frac{CD}{BD}?

\dfrac{1}{8}

\dfrac{2}{9}

\dfrac{3}{10}

\dfrac{4}{11}

\dfrac{5}{12}

答案：D

知识点：相似平行线比与比例

难度评级：1840

小提示：

过

D

作平行于

\overline{BE}

的直线，交

\overline{AC}

于

F

。

Draw the line through

D

parallel to

\overline{BE}

meeting

\overline{AC}

at a point

F

大提示：

两组相似三角形给出

\frac{CD}{BC}

，再转化为

\frac{CD}{BD}

。

Two pairs of similar triangles give

\frac{CD}{BC},

which converts to

\frac{CD}{BD}

解答：

设

F

在

\overline{AC}

上，且

DF \parallel BE

。令

ET = x

，则

BT = 4x

。

由

\triangle ATE \sim \triangle ADF

，得

\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3}

，所以

DF = \dfrac{4x}{3}

。

由

\triangle BEC \sim \triangle DFC

，得

\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{\frac{4x}{3}}{5x} = \dfrac{4}{15}

。

因此

\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{\frac{CD}{BC}}{1 - \frac{CD}{BC}} \\ &= \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{15}} = \dfrac{4}{11} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

Let

F

be on

\overline{AC}

with

DF \parallel BE,

and write

ET = x,

BT = 4x.

From

\triangle ATE \sim \triangle ADF,

\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3},

so

DF = \dfrac{4x}{3}.

From

\triangle BEC \sim \triangle DFC,

\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{\frac{4x}{3}}{5x} = \dfrac{4}{15}.

Therefore

\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{\frac{CD}{BC}}{1 - \frac{CD}{BC}} \\ &= \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{15}} = \dfrac{4}{11}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.